1東北大学 2004年 数学 第1問解答・解説

曲線 $C:y=x^2-2$ と直線 $L:y=x$ の交点のx座標は $$x^2-x-2=0\quad\text{より}\quad x=-1,2.$$

(1) $D:y=-(x-a)^2+b$ と $L$ の交点は $$x^2+(1-2a)x+(a^2-b)=0.$$ 接するので判別式は0であり、$1-4a+4b=0$、よって $\displaystyle b=a-\frac14$。接点のx座標は $\displaystyle a-\frac12$。これがCとLの交点間の線分上にある条件は $$\displaystyle -1\le a-\frac12\le2\quad\text{であるための必要十分条件は}\quad-\frac12\le a\le\frac52.$$

(2) CとDの差を $$\displaystyle D(x)-C(x)=\frac{\Delta}{2}-2\left(x-\frac a2\right)^2, \qquad \Delta=\frac92-(a-1)^2$$ と平方完成する。上のaの範囲では $\displaystyle \Delta\ge\frac94>0$ で、交点は $\displaystyle x=\frac a2\pm\frac{\sqrt\Delta}{2}$。したがって囲まれる面積は $$\displaystyle \begin{aligned} S(a)&=\int_{-\sqrt\Delta/2}^{\sqrt\Delta/2}\left(\frac\Delta2-2u^2\right)du\\ &=\frac{\Delta^{3/2}}3=\frac13\left(\frac92-(a-1)^2\right)^{3/2}. \end{aligned}$$

(3) $S$ は $\Delta$ の増加関数である。許容区間で $\Delta$ は $a=1$ のとき最大 $9/2$、両端 $a=-1/2,5/2$ のとき最小 $9/4$。ゆえに $$\displaystyle \max S=\frac13\left(\frac92\right)^{3/2}=\frac{9\sqrt2}{4}\quad(a=1), \qquad \min S=\frac13\left(\frac94\right)^{3/2}=\frac98\quad\left(a=-\frac12,\frac52\right).$$

接する条件を二次方程式の重解条件にし、接点が指定線分上にある範囲を求めた。曲線差を平方完成して面積を積分し、aの範囲で平方根内の量が最大・最小となる位置を比較した。