IV慶應義塾大学 2001年 数学 第IV問解答・解説

(1) $1+\cos x=2\cos^2(x/2)$であり、$0\le x/2\le\pi/4$では$\cos(x/2)>0$。よって $$\displaystyle f(1)=\int_0^{\pi/2}\sqrt2\cos(x/2)\,dx=2\sqrt2\sin(\pi/4)=2.$$

(2) $0\le a<b\le1$、$0\le x\le\pi/2$とする。平方根の差を有理化すると $$\displaystyle \sqrt{1+b\cos x}-\sqrt{1+a\cos x} =(b-a)\frac{\cos x}{\sqrt{1+b\cos x}+\sqrt{1+a\cos x}}.$$ 各平方根は$1$以上$\sqrt2$以下だから分母は$2$以上$2\sqrt2$以下であり、$\cos x\ge0$を用いて $$\displaystyle \frac{b-a}{2\sqrt2}\cos x\le\sqrt{1+b\cos x}-\sqrt{1+a\cos x}\le\frac{b-a}{2}\cos x.$$ 両辺を$0\le x\le\pi/2$の範囲で積分し、$\displaystyle \int_0^{\pi/2}\cos x\,dx=1$とすれば $$\displaystyle \frac{b-a}{2\sqrt2}\le f(b)-f(a)\le\frac{b-a}{2}.$$ $0\le s\le1$、$0\le t\le1$を満たす任意の$s,t$について順序を入れ替えれば$|f(t)-f(s)|\le|t-s|/2$。$s$を$t$に近づけると右辺は0に近づく。従って$f$は$0\le t\le1$で連続である。

(3) 上の下界から$a<b$なら$f(b)-f(a)>0$であり、$f$は変数が大きくなると値も必ず大きくなる。また $$\displaystyle f(0)=\int_0^{\pi/2}1\,dx=\frac\pi2<\sqrt3, \qquad f(1)=2>\sqrt3.$$ ここで$\pi/2<\sqrt3$は、$0<u<\pi/2$で$\tan u>u$（例えば$(\tan u-u)'=\tan^2u>0$）を$u=\pi/6$に適用して従う。連続性と中間値の定理により$0<c<1$の範囲で$f(c)=\sqrt3$となる$c$が少なくとも一つ存在する。異なる変数の値に対して同じ値をとらないことからそのような$c$は高々一つなので、ただ一つ存在する。