5東京大学 2026年 数学 第5問解答・解説

(1) $u=z+3$ は中心3，半径1の円上を動く。原点からの接線が実軸となす鋭角を $\gamma$ とすれば $\sin\gamma=1/3$ であり，$u$ の偏角は $-\gamma$ 以上 $\gamma$ 以下の範囲を動く。 $\gamma<\pi/6$ なので $u^3$ の偏角の代表値 $\theta$ は $-3\gamma\le\theta\le3\gamma$ を満たし、$-\pi/2<\theta<\pi/2$ の範囲にある。 従って三倍角公式より $$\displaystyle -\frac{23}{27}\le\sin\theta\le\frac{23}{27},\qquad \sin3\gamma=3\cdot\frac13-4\left(\frac13\right)^3=\frac{23}{27}.$$ (2) $u=z-\alpha$ は中心 $c=-\alpha$，半径1の円上を動く。$u^3$ が正の実数になる方向は角度 $0,2\pi/3,4\pi/3$ の半直線，負の実数になる方向は $\pi/3,\pi,5\pi/3$ の半直線である。原点だけとの交わりは数えない。 中心を $c=(x,y)$ とし，まず $0\le\arg c\le\pi/3$ を考える。この区画では正の組で最も近い方向は0，負の組で最も近い方向は $\pi/3$。 中心からその方向への垂直射影は半直線上にあり，距離はそれぞれ $y$ と $(\sqrt3x-y)/2$。他の同色方向は中心との角度がこれら以上なので，いずれかの同色半直線に円が届くためにはこの最も近いものにも届く必要がある。 従って両方に届く必要十分条件は $$0\le y\le1,\qquad0\le\sqrt3x-y\le2.$$ 境界でも接点は原点でない（中心が原点の場合は円と各半直線の交点は距離1）ので，実軸の正負部分との交わり条件を満たす。 この領域は頂点 $(0,0),(2/\sqrt3,0),(\sqrt3,1),(1/\sqrt3,1)$ の平行四辺形で，底辺 $2/\sqrt3$，高さ1。残り5区画も60度回転で同じ条件になり，境界以外は重ならない。$\alpha\mapsto-\alpha$ も面積を保つので，求める面積は $$\displaystyle 6\cdot\frac2{\sqrt3}=4\sqrt3.$$