2熊本大学 2025年 数学 第2問解答・解説

$z=(\sqrt6+i\sqrt2)/2$ とすると $|z|=\sqrt2$、$\arg z=\pi/6$、$z^2=1+\sqrt3 i$。（問1）$\beta=z\alpha,\gamma=z\beta$ よりOBからOCへの回転角は $\pi/6$、従って $\angle BOC=\pi/6$。

（問2）$\alpha\ne0$ なので複素平面を $w\mapsto w/\alpha$ で正規化する。A,Cはそれぞれ $1,1+\sqrt3 i$ となりACは直線 $x=1$。この直線はBDの垂直二等分線なのでDはBの $x=1$ に関する対称点である。したがって $\delta/\alpha=2-\overline z=2-\sqrt6/2+(\sqrt2/2)i$、上記のδを得る。

（問3）正規化後 $B=(\sqrt6/2,\sqrt2/2)$、$C=(1,\sqrt3)$、$D=(2-\sqrt6/2,\sqrt2/2)$。$a=\sqrt6/2-1>0$、$b=\sqrt3-\sqrt2/2>0$ と置くと $\overrightarrow{CB}=(a,-b)$、$\overrightarrow{CD}=(-a,-b)$。CAを対称軸とする角を $\varphi$ とすれば $\tan\varphi=a/b$、$\theta=2\varphi$ だから $$\displaystyle \sin\theta=\frac{2ab}{a^2+b^2} =\frac{4\sqrt2-3\sqrt3}{6-2\sqrt6} =\frac{3\sqrt2-\sqrt3}{6}.$$ $0<\varphi<\pi/2$ なので角の向きと正の符号も整合する。