1熊本大学 2025年 数学 第1問解答・解説

agraph{(問 1)} Aを原点とし、$\overrightarrow{AB}=\mathbf{u},\;\overrightarrow{AD}=\mathbf{v},\;\overrightarrow{AC}=\mathbf{w}$とおく。このとき、$\overrightarrow{BC}=\mathbf{w}-\mathbf{u},\;\overrightarrow{CD}=\mathbf{v}-\mathbf{w},\;\overrightarrow{DA}=-\mathbf{v},\;\overrightarrow{BD}=\mathbf{v}-\mathbf{u}$である。したがって、求める左辺と右辺の差は $$\begin{aligned} &|\overrightarrow{AB}|^2+|\overrightarrow{BC}|^2+|\overrightarrow{CD}|^2+|\overrightarrow{DA}|^2-|\overrightarrow{AC}|^2-|\overrightarrow{BD}|^2\\ &=|\mathbf{u}|^2+|\mathbf{w}-\mathbf{u}|^2+|\mathbf{v}-\mathbf{w}|^2+|\mathbf{v}|^2-|\mathbf{w}|^2-|\mathbf{v}-\mathbf{u}|^2\\ &=|\mathbf{u}+\mathbf{v}-\mathbf{w}|^2\geq 0.\end{aligned}$$よって不等式が成り立つ。等号が成り立つのは$\mathbf{w}=\mathbf{u}+\mathbf{v}$、すなわち$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$のときに限る。このとき$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$だから、$ABCD$は平行四辺形である。

agraph{(問 2)} 等号成立時、$ABCD$は辺$AB=p,\;AD=q$、その間の角が$\theta$である平行四辺形である。$0<\theta<\pi$より面積は正であり、三角形$ABD$の面積の2倍として$$\displaystyle 2\cdot\frac12 pq\sin\theta=pq\sin\theta$$を得る。