4熊本大学 2025年 数学 第4問解答・解説

実数 $p>1$ とし、$f(x)=x^p\ (x\geq 0)$ とおく。$x>0$ では $f'(x)=p x^{p-1}$ であり、$\displaystyle f'(0)=\lim\limits _{h\to+0}h^{p-1}=0$ である。したがって $f'$ は $x\ge0$ の範囲で増加する。

(問 1) 各正整数 $k$ について、$x^p$ が増加するから $\displaystyle \int_{k-1}^{k}x^p\,dx\leq k^p\leq\int_k^{k+1}x^p\,dx$ である。これを $k=1,\ldots,n$ について加えると $$\displaystyle \frac{n^{p+1}}{p+1}=\int_0^n x^p\,dx\leq S_n\leq\int_1^{n+1}x^p\,dx=\frac{(n+1)^{p+1}-1}{p+1}.$$ よって $$\displaystyle \frac{1}{p+1}\leq\frac{S_n}{n^{p+1}}\leq\frac{1}{p+1}\left\{\left(1+\frac1n\right)^{p+1}-\frac{1}{n^{p+1}}\right\}\longrightarrow\frac{1}{p+1},$$ したがって求める極限は $\displaystyle\frac{1}{p+1}$ である。

(問 2) 点 $(\alpha,\alpha^p)$ における接線は、$f'(\alpha)=p\alpha^{p-1}$ より $$y=\alpha^p+p\alpha^{p-1}(x-\alpha).$$ ただし $\alpha=0$ のときも右微分係数は $0$ なので、接線は $y=0$ であり、上式に一致する。

$x\geq\alpha$ では $f'$ が増加するため $$\displaystyle x^p-\alpha^p=\int_\alpha^x f'(t)\,dt\geq p\alpha^{p-1}(x-\alpha).$$ また $\alpha<x<\beta$ ならば、同じく $f'$ の増加性から $$\displaystyle \frac{x^p-\alpha^p}{x-\alpha}\leq f'(x)\leq\frac{\beta^p-x^p}{\beta-x}.$$ これを整理すると $$\displaystyle x^p\leq\frac{\beta-x}{\beta-\alpha}\alpha^p+\frac{x-\alpha}{\beta-\alpha}\beta^p.$$ 両端の等号も含め、接線による下側の評価とこの弦による上側の評価を $x=\alpha$ から $x=\beta$ まで積分すれば $$\displaystyle \frac12(\beta-\alpha)\{2\alpha^p+p(\beta-\alpha)\alpha^{p-1}\}\leq\int_\alpha^\beta x^p\,dx\leq\frac12(\beta-\alpha)(\beta^p+\alpha^p)$$ を得る。

(問 3) $c=1/(p+1)$ である。$\displaystyle I_n=\int_0^n x^p\,dx=c n^{p+1}$、$D_n=S_n-I_n$ とおく。問 2 の不等式を各範囲 $k-1\le x\le k$ に用いると $$\displaystyle \frac12\{k^p-(k-1)^p\}\leq k^p-\int_{k-1}^{k}x^p\,dx\leq k^p-(k-1)^p-\frac p2(k-1)^{p-1}.$$ これを $k=1,\ldots,n$ について加えると $$\displaystyle \frac12 n^p\leq D_n\leq n^p-\frac p2\sum\limits _{j=0}^{n-1}j^{p-1}=\frac12n^p+\frac12\left(n^p-p\sum\limits _{j=0}^{n-1}j^{p-1}\right).$$ 括弧内は $$\displaystyle \sum\limits _{j=0}^{n-1}\left\{(j+1)^p-j^p-pj^{p-1}\right\}=p\sum\limits _{j=0}^{n-1}\int_j^{j+1}\{x^{p-1}-j^{p-1}\}\,dx$$ である。各被積分関数は $0$ 以上であり、$j\leq x\leq j+1$ では $x^{p-1}-j^{p-1}\leq(j+1)^{p-1}-j^{p-1}$ だから、括弧内は $0$ 以上 $p n^{p-1}$ 以下である。したがって $$\displaystyle \frac12\leq\frac{S_n-cn^{p+1}}{n^p}=\frac{D_n}{n^p}\leq\frac12+\frac{p}{2n},$$ ゆえに求める極限は $\displaystyle\frac12$ である.