5九州大学 2024年 数学 第5問解答・解説

(1) $F(x)=x^{m+1}e^x(\log x)^{n+1}$ とおく。積の微分法より $$F'(x)=x^{m+1}e^x(\log x)^{n+1}+(m+1)x^me^x(\log x)^{n+1}+(n+1)x^me^x(\log x)^n.$$ これを $1\le x\le e$ で積分する。$F(e)=e^{m+1+e}$、$F(1)=0$ なので $$e^{m+1+e}=I(m+1,n+1)+(m+1)I(m,n+1)+(n+1)I(m,n).$$ したがって $$\boxed{I(m+1,n+1)=e^{m+1+e}-(m+1)I(m,n+1)-(n+1)I(m,n)}.$$

(2) $t=\log x$ と置換すると、$x=e^t$、$dx=e^t\,dt$ で積分区間は $0\le t\le1$ となる。よって $$\displaystyle I(m,n)=\int_0^1 e^{(m+1)t+e^t}t^n\,dt.$$ ここで $0\le t\le1$ なら $(m+1)t+e^t\le m+1+e$ であるから、被積分関数は非負で $$\displaystyle 0\le I(m,n)\le e^{m+1+e}\int_0^1t^n\,dt=\frac{e^{m+1+e}}{n+1}.$$ 右辺は $n\to\infty$ で $0$ に収束する。はさみうちにより、すべての自然数 $m$ について $$\displaystyle \boxed{\lim\limits _{n\to\infty}I(m,n)=0}.$$

(1) $F(x)=x^{m+1}e^x(\log x)^{n+1}$ とおくと、$F'(x)=x^{m+1}e^x(\log x)^{n+1}+(m+1)x^me^x(\log x)^{n+1}+(n+1)x^me^x(\log x)^n$。1からeまで積分し、$F(e)=e^{m+1+e}$, $F(1)=0$ を用いると所望の漸化式を得る。 (2) $t=\log x$ と置換すると $\displaystyle I(m,n)=\int_0^1 e^{(m+1)t+e^t}t^n\,dt$。$0\le t\le1$ で指数因子は $e^{m+1+e}$ 以下なので $\displaystyle 0\le I(m,n)\le\frac{e^{m+1+e}}{n+1}\to0$。