九州大学 2024年数学第4問解答・解説

場合の数と確率

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1問題

九州大学2024年度第4問配点 50点

この問題の解答は，解答紙 $18$ の定められた場所に記入しなさい。

【問題】

$n$ を3以上の整数とする。座標平面上の点のうち， $x$ 座標と $y$ 座標がともに1以上 $n$ 以下の整数であるものを考える。これら $n^2$ 個の点のうち3点以上を通る直線の個数を $L(n)$ とする。以下の問いに答えよ。

(1) $L(3)$ を求めよ。

(2) $L(4)$ を求めよ。

(3) $L(5)$ を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$(1) L(3)=8. (2) L(4)=14. (3) L(5)=32.$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

原文の格子正方形 $1\le x,y\le n$ と $L(3),L(4),L(5)$ を確認。原始整数方向 $(p,q)$ の各直線格子点は整数刻みで連続し、3点が入るには $2\lvert p\rvert\le n-1,\;2\lvert q\rvert\le n-1$ 。n=3,4は軸方向各3/4本、傾き $\pm1$ 各1/3本で8,14。n=5はそれら各5本に、傾き $\displaystyle \pm2,\;\pm\frac12$ 各3本を加え32。各傾きの直線数を個別に確認し、別途格子点の全ペアから作った重複除去計数も $(8,14,32)$ で一致。現行の原始方向列挙・数え上げを点検。

この問題で使う考え方

互いに素な整数方向の分類
格子点の数え上げ
対称性を用いた場合分け

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