3九州大学 2024年 数学 第3問解答・解説

(1) $a$ を固定し、$b$ について帰納法を用いる。基礎では $b=a+1$ のとき $$\displaystyle \frac{b!}{a!}=a+1=b.$$ 帰納段階で $k>a$ かつ $\displaystyle \frac{k!}{a!}\geqq k$ と仮定する。$a\ge1$ より $k\ge2$ なので $$\displaystyle \frac{(k+1)!}{a!}=(k+1)\frac{k!}{a!}\geqq(k+1)k\geqq k+1.$$ 従ってすべての自然数 $b>a$ で $\displaystyle \frac{b!}{a!}\geqq b$。

(2) $2a!=b!$ とする。もし $b\leqq a$ なら $a!\geqq b!$ だが、与式から $b!=2a!>a!$ となり矛盾する。よって $b>a$ であり、(1)から $$\displaystyle 2=\frac{b!}{a!}\geqq b.$$ また $a\ge1$ と $b>a$ から $b\ge2$ だから $b=2$、続いて $a=1$。実際に $2\cdot1!=2!=2$ であり、唯一の解は $$(a,b)=(1,2).$$

(3) 式は $a,b$ について対称なので、$a\le b$ としてよい。$a=b$ のとき $2a!=2c!$ から $c=a$ であり、解は $(a,b,c)=(n,n,n)$ である。

$a<b$ とすると $b\ge2$ かつ $a!<b!$ なので $$b!<a!+b!<2b!.$$ 与式より $c!=(a!+b!)/2$、従って $b!/2<c!<b!$ となる。$b\ge3$ なら、$c\le b-1$ のとき $$\displaystyle c!\le(b-1)!=\frac{b!}{b}\le\frac{b!}{3}<\frac{b!}{2},$$ 矛盾する。$c\ge b$ のときも $c!\ge b!$ となって矛盾する。残る $b=2$ では $a=1$ だが、$3=2c!$ は不可能である。よって $a<b$ の場合に解はない。対称性を戻せば、求める解は $(a,b,c)=(n,n,n)$（正整数 $n$）のみ.

(1)はa固定の帰納法。 (2)はまずb>aを矛盾法で示し、(1)と与式から2≧b≧2を得て唯一の組を確定、最後に代入する。 (3)はa,bの対称性と隣接する階乗の間隔を用い、異なるa,bでは成立しないことを示す。a=b=cの全ての正整数が解となる。