7信州大学 2024年 数学 第7問解答・解説

$$\displaystyle N=\{1,2,\ldots,n\},\qquad \sum\limits _{j=1}^{n}j=\frac{n(n+1)}2.$$ $S_1=S_2$ となる分割があれば、全体の和は $2S_1$ なので偶数である。したがって $$\displaystyle \frac{n(n+1)}2\equiv0\pmod2 \quad\text{すなわち}\quad n(n+1)\equiv0\pmod4.$$ $n$ を $4$ で割った余りを調べると、これを満たすのは $n\equiv0,3\pmod4$ の場合に限る。

この二つの場合には実際に等和分割を作れる。

$n=4k\ (k\ge1)$ のとき、 $$(1,4k),(2,4k-1),\ldots,(2k,2k+1)$$ と組にすると、各組の和は $4k+1$ である。前半の $k$ 組を $P_1$、残りの $k$ 組を $P_2$ に入れれば、どちらの和も $k(4k+1)$ となる。

$n=4k+3\ (k\ge0)$ については、まず $n=3$ で $P_1=\{1,2\}, P_2=\{3\}$ とすればよい。ある $n=4k+3$ で等和分割できるとする。次の四数 $4k+4,4k+5,4k+6,4k+7$ のうち $4k+4,4k+7$ を $P_1$ に、$4k+5,4k+6$ を $P_2$ に加えると、両側に加わる和はともに $8k+11$ である。よって分割は保たれ、帰納的にすべての $n\equiv3\pmod4$ で可能である。

以上より、求める値は $n\equiv0,3\pmod4$ である。