2名古屋市立大学 2024年 数学 第2問解答・解説

(1) 操作1後の箱$B$の2個は、二つの袋からの独立な抽出で、それぞれ赤である確率は$2/10=1/5$。よって $$\displaystyle P(\text{1個だけ赤})=2\cdot\frac15\cdot\frac45=\frac8{25},\qquad P(\text{2個赤})=\left(\frac15\right)^2=\frac1{25}.$$

(2) 箱$B$に赤が$r$個あるとき、操作2・3で続けて赤が記録される確率は$(r/2)^2$。従ってベイズの定理から $$\displaystyle P(r=1\mid E):P(r=2\mid E)=\frac8{25}\cdot\frac14:\frac1{25}\cdot1=2:1,$$ よって確率はそれぞれ$2/3$、$1/3$。

(3) 箱$B$の初期組成を赤赤、赤青、赤白などで分ける。$E$（2回とも赤記録）を与えると、箱$B$の組成が赤赤、赤青、赤白である各事後確率は$1/3$（青白・白白・赤以外の組成は$E$の確率$0$）。従って操作4の$B$側抽出が赤である確率は$\displaystyle \frac13+\frac16+\frac16=\frac23$、青である確率は$\displaystyle \frac16$。箱$A$は赤1個・青1個なので抽出色は各$1/2$であり、1個ずつ赤青となる確率は $$\displaystyle \frac12\cdot\frac16+\frac12\cdot\frac23=\frac5{12}.$$

操作1後の箱$B$の組成を確率変数とし、操作2・3の観測事象の尤度を組成ごとに掛ける。問(3)では赤数だけでなく、非赤玉が青か白かも条件付き分布に残るため、事後の組成を赤赤・赤青・赤白に分けてから操作4を計算する。