1大阪公立大学 2022年 数学 第1問解答・解説

問1では $F(x)=\log(1+x)-x+x^2/2$ とおくと、$F(0)=0$、$F'(x)=x^2/(1+x)\ge0$。従って $\log(1+x)\ge x-x^2/2$。また $G(x)=x-x^2/2+x^3/3-\log(1+x)$ とおくと、$G(0)=0$、$G'(x)=x^3/(1+x)\ge0$。ゆえに $$\displaystyle x-\frac{x^2}{2}\le\log(1+x)\le x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}.$$

問2では、問1の不等式に $x=t/n$ を代入する。$t\ge0$ を固定すると $$\displaystyle \frac{t^2}{2}-\frac{t^3}{3n}\le nt-n^2\log\left(1+\frac tn\right)\le\frac{t^2}{2}.$$ 従って指数部は $t^2/2$ に収束し、 $$\displaystyle f(t)=\lim\limits _{n\to\infty}e^{nt}\left(1+\frac tn\right)^{-n^2}=e^{t^2/2}.$$

問3で $f'(t)=t f(t)$。$0\le t\le90$ では単調増加なので $$\displaystyle \int_0^{90}f(t)\,dt\le90e^{4050}.$$ また $90\le t\le100$ では $f(t)\le f'(t)/90$ だから $$\displaystyle \int_{90}^{100}f(t)\,dt\le\frac{e^{5000}-e^{4050}}{90}<\frac{e^{5000}}{90}.$$ ここで $H(x)=e^x-1-x$ とおくと、$x\ge0$ で $H(0)=0$、$H'(x)=e^x-1\ge0$ だから $e^{475}>476$。両辺を二乗すれば $$\displaystyle e^{950}>476^2=226576>10125=\frac{90\cdot225}{2},$$ 従って $90e^{4050}<(2/225)e^{5000}$。そこで $$\displaystyle \int_0^{100}f(t)\,dt<\left(\frac2{225}+\frac1{90}\right)e^{5000}=\frac1{50}e^{5000},$$ が得られる。

問1は二つの差を関数にして微分し、どちらも0以上の導関数を持つことから示せます。問2では問1の上下評価をt/nに適用し、指数全体を両側から挟むと極限が出ます。問3は区間を0〜90と90〜100に分けます。前半では増加性を使い、後半ではf′(t)=t f(t) と t≧90 から積分をfの端点差で上から押さえます。残った指数比較はH(x)=e^x−1−xの微分からe^475>476を示し、二乗して確かめます。