3熊本大学 2025年 数学 第3問解答・解説

回転軸 $\ell$ は $x$ 軸に平行なので、回転によって $x$ 座標は変わらない。$x=t$（$0\le t\le3$）で四面体を切った断面を考える。四面体内の点を頂点 $A,B,C,D$ の重み付き平均で表し、各頂点の重みをそれぞれ $\lambda_A,\lambda_B,\lambda_C,\lambda_D$ とすると、$\lambda_A+\lambda_D=t/3$、$\lambda_B+\lambda_C=1-t/3$ である。したがって断面内では $y=3(\lambda_B-\lambda_C)$、$z=3\lambda_D$ となり、$y$ と $z$ は独立に動くから、断面は $- (3-t)\le y\le 3-t$、$0\le z\le t$ の長方形である。

$\ell$ 上の点の $yz$ 座標は $(0,1)$ だから、点 $(t,y,z)$ の回転半径の二乗は $r^2=y^2+(z-1)^2$ である。この長方形では $y=0$ が許されるため、最小半径の二乗は $0\le t\le1$ で $(1-t)^2$、$1\le t\le3$ で $0$ となる。最大値は長方形の頂点でとり、$y^2$ の最大値は $(3-t)^2$、$(z-1)^2$ の最大値は $0\le t\le2$ では $1$、$2\le t\le3$ では $(t-1)^2$ である。距離は長方形上で連続し、長方形は連結なので、回転後の断面は最小半径から最大半径までの円環（最小半径が $0$ のときは円盤）となる。よってその面積は次のとおりである。$$S(t)=\begin{cases} \pi\{(3-t)^2+1-(1-t)^2\}=\pi(9-4t),&0\le t\le1,\\ \pi\{(3-t)^2+1\}=\pi(t^2-6t+10),&1\le t\le2,\\ \pi\{(3-t)^2+(t-1)^2\}=\pi(2t^2-8t+10),&2\le t\le3. \end{cases}$$ したがって求める体積は $$\displaystyle \begin{aligned} V&=\int_0^3 S(t)\,dt\\ &=\pi\left\{\int_0^1(9-4t)\,dt+\int_1^2(t^2-6t+10)\,dt+\int_2^3(2t^2-8t+10)\,dt\right\}\\ &=\pi\left(7+\frac{10}{3}+\frac{8}{3}\right)=13\pi. \end{aligned}$$ 区間端の断面も含めており、端点は体積に影響しない。

断面の最短点と最遠点を結ぶ線分も長方形内にあり、軸までの距離はその線分上で連続に変わります。中間値の定理により、最小半径から最大半径までの全ての距離が実現します。