2福島県立医科大学 2021年 数学 第2問解答・解説

（1）各辺の端点の $z$ 座標は0と1なので、平面 $z=t$ との交点は端点からの比 $t:(1-t)$ にある。従って $$P=(t,0,t),\quad Q=(0,t,t),\quad R=(1,1-t,t),\quad S=(1-t,1,t).$$

（2）断面の頂点を $P,Q,S,R$ の順に結ぶと平行四辺形で、 $$\overrightarrow{PQ}=(-t,t,0),\qquad \overrightarrow{QS}=(1-t,1-t,0).$$ 内積は0、辺の長さはそれぞれ $\sqrt2t$、$\sqrt2(1-t)$。よって断面積は $$[PQSR]=\sqrt2t\cdot\sqrt2(1-t)=2t(1-t).$$

（3）平面 $z=t$ 上の点を $X=(x,y,t)$ とする。$X$ が四面体 $ODEF$ に属するための頂点 $O,D,E,F$ に対する凸結合係数は $$\displaystyle \lambda_D=\frac{x+y-t}{2},\quad \lambda_E=\frac{x+t-y}{2},\quad \lambda_F=\frac{y+t-x}{2},\quad \lambda_O=1-\frac{x+y+t}{2}.$$ 各係数の和は1であり、すべて非負なら、$X$ は四頂点の位置ベクトルをその係数で重み付けした点である。これは頂点を結ぶ線分や面の内分を重ねて得られる四面体の点を表し、逆に四面体内の点もこの形に表せる。 これらが全て非負である条件は $$x+y\ge t,\qquad |x-y|\le t,\qquad x+y\le2-t.$$ 同様に、四面体 $ABCG$ への凸結合係数は $$\displaystyle \mu_G=\frac{x+y+t-1}{2},\quad \mu_A=\frac{1+x-y-t}{2},\quad \mu_B=\frac{1+y-x-t}{2},\quad \mu_C=\frac{1+t-x-y}{2},$$ なので非負条件は $$x+y\ge1-t,\qquad |x-y|\le1-t,\qquad x+y\le1+t.$$ $\displaystyle m=\min(t,1-t)$ とおけば、両四面体の共通断面は $$|x+y-1|\le m,\qquad |x-y|\le m.$$ すなわち $u=x-1/2, v=y-1/2$ と置いたとき $|u+v|\le m, |u-v|\le m$ であり、$|u|+|v|\le m$ を満たすひし形である。二本の対角線はともに長さ $2m$ だから断面積は $2m^2$。従って $$\displaystyle A(t)= \begin{cases} 2t^2,&0<t\le\frac12,\\ 2(1-t)^2,&\frac12<t<1. \end{cases}$$

（4）断面積を $z=t$ について積分して $$\displaystyle \operatorname{Vol}(V) =2\int_0^{1/2}t^2\,dt+2\int_{1/2}^1(1-t)^2\,dt =\frac16.$$

（5）各断面の条件は全体として $$\displaystyle \left|x-\frac12\right|+\left|y-\frac12\right|+\left|z-\frac12\right|\le\frac12$$ を表す。これは中心 $C_0=(1/2,1/2,1/2)$、頂点が各座標軸方向に中心から $1/2$ 離れた正八面体である。各面の平面は、中心からの相対座標について符号を選んだ一次式の和が $1/2$ となる形で、法線ベクトルの長さは $\sqrt3$。従って中心から各面までの距離はすべて $$\displaystyle r=\frac{1/2}{\sqrt3}=\frac1{2\sqrt3}.$$ この距離が内接球の半径である。

z=t断面の四面体を凸結合係数で表し、共通部分が中心(1/2,1/2)のひし形であることを示す。断面積を積分して体積を得て、全体の共通部分が中心(1/2,1/2,1/2)の正八面体になることから内接球の半径を求める。