4東京大学 2026年 数学 第4問解答・解説

曲線 $C:y=x^3-kx$ 上の $x=t$ における接線は $$f'(t)=3t^2-k,\qquad f(t)-tf'(t)=-2t^3$$ より $\ell_t:y=(3t^2-k)x-2t^3$ である。特に原点での接線は $\ell_0:y=-kx$。

(1) $\ell_0$ の傾きを $m_0=-k$ とする。傾き $m$ の直線と $\ell_0$ のなす角の正接は $$\displaystyle \left|\frac{m-m_0}{1+m_0m}\right| =\left|\frac{m+k}{1-km}\right|.$$ したがって、$\ell_0$ と $60^\circ$ をなす他の2方向の傾きは $$\displaystyle m_+=\frac{-k+\sqrt3}{1+\sqrt3k},\qquad m_-=\frac{-k-\sqrt3}{1-\sqrt3k}.$$ 分母が $0$ となる方向は垂直であり、有限傾きの曲線の接線にはならない。曲線の接線の傾きは $3t^2-k\ge-k$ で、$t\ne0$ なら $-k$ より大きい。また $$\displaystyle m_++k=\frac{\sqrt3(1+k^2)}{1+\sqrt3k},\qquad m_-+k=\frac{\sqrt3(1+k^2)}{\sqrt3k-1}.$$ 両方向が接線の傾きとして実現する必要十分条件は、両式が正であること、すなわち $$\displaystyle k>\frac1{\sqrt3}.$$ このとき $$\displaystyle a^2=\frac{m_++k}{3} =\frac{1+k^2}{\sqrt3(1+\sqrt3k)},\qquad b^2=\frac{m_-+k}{3} =\frac{1+k^2}{\sqrt3(\sqrt3k-1)}$$ とおけば $0<a<b$ である。$t=\pm a,\pm b$ における接線が必要な2方向を与えるので、この条件は十分でもある。

(2) (1)の $a,b$ を用いる。3接線 $\ell_0,\ell_r,\ell_s$ を選ぶとき、順序を適宜定めて $r=\pm a,\ s=\pm b$ とできる。$\ell_r,\ell_s$ と $\ell_0$ の交点をそれぞれ $A_r,A_s$ とすると、 $$\displaystyle A_r=\left(\frac{2r}{3},-\frac{2kr}{3}\right),\qquad A_s=\left(\frac{2s}{3},-\frac{2ks}{3}\right), \qquad |A_rA_s|=\frac23|r-s|\sqrt{1+k^2}.$$ また $C_0=\ell_r\cap\ell_s$ とおく。$r^2\ne s^2$ より $r+s\ne0$ であり、2接線の式から $$\displaystyle x_{C_0}=\frac{2(r^2+rs+s^2)}{3(r+s)},\qquad y_{C_0}+kx_{C_0}=\frac{2r^2s^2}{r+s}.$$ よって $C_0$ から $\ell_0$ までの距離は $$\displaystyle \frac{|y_{C_0}+kx_{C_0}|}{\sqrt{1+k^2}} =\frac{2r^2s^2}{|r+s|\sqrt{1+k^2}},$$ したがって三角形の面積 $S$ は $$\displaystyle S=\frac12|A_rA_s|\,d(C_0,\ell_0) =\frac23r^2s^2\frac{|r-s|}{|r+s|}.$$ $r,s$ が同符号なら $\displaystyle S=\frac23a^2b^2\frac{b-a}{a+b}$、異符号なら $\displaystyle S=\frac23a^2b^2\frac{a+b}{b-a}$ である。後者が最大値 $M$、前者が最小値 $m$ となるから、 $$\displaystyle \frac{M}{m}=\left(\frac{a+b}{b-a}\right)^2.$$ $M=4m$ は $b=3a$ と同値である。一方、 $$\displaystyle \frac{b^2}{a^2}=\frac{1+\sqrt3k}{\sqrt3k-1}.$$ これを $9$ とおいて解くと $$\displaystyle 9=\frac{1+\sqrt3k}{\sqrt3k-1} \quad\text{したがって}\quad k=\frac5{4\sqrt3}=\frac{5\sqrt3}{12}.$$ この値は (1) の範囲を満たす。

三次関数の接線の傾き・切片を求め、角条件から接点の絶対値を固定したうえで、符号による接線三角形の面積を比較する。