1三重大学 2008年 数学 第1問解答・解説

$\displaystyle f(x)=\frac12(x+1)^2$ とおくと、点 $P(a,f(a))$ における接線 $\ell$ の傾きは $f'(a)=a+1>0$ である。$\ell$ の傾斜角を $\alpha$ とする。垂直線 $m$ と $\ell$ の鋭角が $\theta$ なので、$\displaystyle \alpha=\frac\pi2-\theta$。したがって $\ell$ の傾きは $$\tan\alpha=\cot\theta.$$

$P$ から $(a,0)$ へ向かうベクトルは鉛直下向きで、その方向角は $\displaystyle -\frac\pi2$ である。これを傾斜角 $\alpha$ の直線 $\ell$ について反射した方向角は $$\displaystyle 2\alpha-\left(-\frac\pi2\right)=2\alpha+\frac\pi2=\frac{3\pi}{2}-2\theta.$$ よって直線 $n$ の傾きは $$\displaystyle \tan\left(\frac{3\pi}{2}-2\theta\right)=\cot(2\theta).$$ $\displaystyle 0<\theta<\frac\pi2$ だからこの傾きは有限である。これで (1) が得られた。

(2) $\displaystyle f(a)=\frac{(a+1)^2}{2}$ より、接線 $\ell$ の方程式は $$\displaystyle y-\frac{(a+1)^2}{2}=(a+1)(x-a),\qquad \ell:\ y=(a+1)x+\frac{1-a^2}{2}.$$ また $\cot\theta=a+1$ なので、倍角公式より $$\displaystyle \cot(2\theta)=\frac{\cot^2\theta-1}{2\cot\theta} =\frac{(a+1)^2-1}{2(a+1)}=\frac{a(a+2)}{2(a+1)}.$$ 直線 $n$ は点 $P$ を通るから $$\displaystyle y-\frac{(a+1)^2}{2}=\frac{a(a+2)}{2(a+1)}(x-a),$$ すなわち $$n:\ 2(a+1)y=a(a+2)x+a^2+3a+1.$$

(3) この式に $\displaystyle (x,y)=(-1,\frac12)$ を代入する。左辺は $a+1$、右辺は $$-a(a+2)+a^2+3a+1=a+1$$ となるので、等式は全ての $a>-1$ で成り立つ。よって $n$ は $a$ によらない定点 $$\displaystyle \boxed{\left(-1,\frac12\right)}$$ を通る。

$\displaystyle f(x)=\frac12(x+1)^2$ とすると、点P(a,f(a))での接線ℓの傾きは $f'(a)=a+1>0$。ℓの傾斜角をαとすれば、垂直線mとの鋭角がθだから $\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{2}-\theta$。よってℓの傾きは $\tan\alpha=\cot\theta$。

Pから (a,0) へ向かうベクトルは鉛直下向きで、方向角は−π/2。これを傾斜角αの直線ℓについて反射すると、方向角は $\displaystyle 2\alpha-\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\frac{3\pi}{2}-2\theta$ となる。したがってPQを通る直線nの傾きは $\displaystyle \tan\left(\frac{3\pi}{2}-2\theta\right)=\cot(2\theta)$。θは$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$なのでこの傾きは有限である。

(2) $\displaystyle f(a)=\frac{(a+1)^2}{2}$ より、接線ℓは $\displaystyle y-\frac{(a+1)^2}{2}=(a+1)(x-a)$, すなわち $\displaystyle y=(a+1)x+\frac{1-a^2}{2}$。 また n の傾きは $\displaystyle \cot(2\theta)=\frac{\cot^2\theta-1}{2\cot\theta}=\frac{(a+1)^2-1}{2(a+1)}=\frac{a(a+2)}{2(a+1)}$。 n は P を通るため $\displaystyle y-\frac{(a+1)^2}{2}=\frac{a(a+2)}{2(a+1)}(x-a)$。 整理すると $2(a+1)y=a(a+2)x+a^2+3a+1$。

(3) この直線に $\displaystyle x=-1,\quad y=\frac12$ を代入すると、左辺は a+1、右辺も $-a(a+2)+a^2+3a+1=a+1$ で一致する。$\displaystyle \text{よって }n\text{ は }a\text{ によらず定点 }\left(-1,\frac12\right)\text{ を通る。}$