3三重大学 2008年 数学 第3問解答・解説

曲線 $y=\ln(x/e)=\ln x-1$ の導関数は $1/x$ なので、点 $(e^2,1)$ での接線は $\displaystyle y-1=\frac{x-e^2}{e^2}$、すなわち $\displaystyle y=\frac{x}{e^2}$ である。部分積分から $I_1=[x\ln x-x]_1^e=1$、$I_2=[x(\ln x)^2-2x\ln x+2x]_1^e=e-2$。曲線は $x=e$ でx軸と交わり、接線は $x=0$ でx軸と交わり、曲線と接線は $x=e^2$ で接する。したがって回転断面は $0\le x\le e$ では半径 $x/e^2$ の円盤、$e\le x\le e^2$ では外半径 $x/e^2$、内半径 $\ln(x/e)$ の円環である。 $\displaystyle V=\pi\int_0^e\left(\frac{x}{e^2}\right)^2\,dx+\pi\int_e^{e^2}\left[\left(\frac{x}{e^2}\right)^2-\left(\ln\frac{x}{e}\right)^2\right]\,dx$。 第一項の積分は $\displaystyle \frac1{3e}$。第二積分の二つの項はそれぞれ $\displaystyle \frac{e^2-1/e}{3}$ と $eI_2=e(e-2)$ なので、$\displaystyle \frac V\pi=\frac1{3e}+\frac{e^2-1/e}{3}-e(e-2)=2e-\frac{2e^2}{3}$。