4三重大学 2008年 数学 第4問解答・解説

(1) 　 $\varepsilon$=$\displaystyle \frac{f}{|f|}$ (f$\ne$0) とし、a=1, b=$\varepsilon$ とおく。すると s=a=1,　　 t=fa+b=f+$\varepsilon$=$\varepsilon$(|f|+1) である。よって |a|=|b|=1 かつ $|s|=1<|t|=|f|+1$ となる。

(2) 　 三角不等式より |x|=|(x+y)-y|$\le$ |x+y|+|y| だから、|x+y|$\ge$ |x|-|y| である。

|s|<|t|, |g|$\ge$2 のとき、u=s+gt, v=t なので |u|=|s+gt|$\ge$ |g||t|-|s|$\ge$2|t|-|s|>|t|=|v|. 次に |u|>|v|, |h|$\ge$2 のとき、s'=u, t'=hu+v なので |t'|=|hu+v|$\ge$ |h||u|-|v|$\ge$2|u|-|v|>|u|=|s'|. したがって二つの含意はいずれも成立する。

(3) 　 $\varepsilon$=f/|f| とし、(a,b)=(1,$\varepsilon$) とする。(1)より $$\begin{pmatrix}s_0\\t_0\end{pmatrix}$$=$$\begin{pmatrix}1&0\\f&1\end{pmatrix}$$$$\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$$　は　 |s_0|<|t_0| を満たす。j=1,$\ldots$,n について順に $$\begin{pmatrix}u_j\\v_j\end{pmatrix}$$=$$\begin{pmatrix}1&g_j\\0&1\end{pmatrix}$$$$\begin{pmatrix}s_{j-1}\\t_{j-1}\end{pmatrix}$$,　　 $$\begin{pmatrix}s_j\\t_j\end{pmatrix}$$=$$\begin{pmatrix}1&0\\h_j&1\end{pmatrix}$$$$\begin{pmatrix}u_j\\v_j\end{pmatrix}$$ と定める。(2)を各 j に適用すると、|s_{j-1}|<|t_{j-1}| から |u_j|>|v_j|、さらに |s_j|<|t_j| が従う。よって帰納的に最終ベクトルは A$$\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$$=$$\begin{pmatrix}s_n\\t_n\end{pmatrix}$$,　　 |s_n|<|t_n| となる。もし A=E ならば (s_n,t_n)=(a,b) であるが、|a|=|b|=1 なので |s_n|<|t_n| に反する。したがって A$\ne$ E である。