4山口大学 2019年 数学 第4問解答・解説

(1)　 $p-q=r$ より、三角不等式から $$|r|=|p-q|\leq |p|+|q|$$ である。もし $\displaystyle |p|<\dfrac{|r|}{2}$ かつ $\displaystyle |q|<\dfrac{|r|}{2}$ ならば、$|p|+|q|<|r|$ となり、上の不等式に矛盾する。したがって、$|p|,|q|$ の少なくとも一方は $\displaystyle \dfrac{|r|}{2}$ 以上である。

(2)　 $t=k-4$ とおくと、区間の両端は $t-1,t+1$ であり、その中点 $t$ も区間に含まれる。$f(t-1),f(t),f(t+1)$ はいずれも $S$ 以上 $L$ 以下だから $$f(t-1)-f(t)\leq L-S,\qquad f(t+1)-f(t)\leq L-S.$$ よって $$2a=f(t-1)-2f(t)+f(t+1)\leq 2(L-S),$$ ここで等式は $f(x)=ax^2$ を代入して得られる。したがって $L-S\geq a$ である。

(3)　 $h(x)=ax^2+bx+c$ とおく。$-5,-4,-3$ はすべて指定区間に含まれるので、各点で $|h(x)|\leq M$ である。また、直接計算すると $$h(-5)-2h(-4)+h(-3)=2a.$$ したがって、三角不等式より $$2a=|h(-5)-2h(-4)+h(-3)|\leq |h(-5)|+2|h(-4)|+|h(-3)|\leq 4M.$$ ゆえに $\displaystyle M\geq\dfrac{a}{2}$ である。