3山口大学 2019年 数学 第3問解答・解説

(2) $f(x+3)=f(x)$ なので $x=3n+t$ とおくと $$\displaystyle I_n=e^{-3n}\int_0^3 f(t)e^{-t}\,dt.$$ $0\le t<3$ では $f(t)=|1-t|$ ($0\le t<2$), $f(t)=1$ ($2\le t<3$) である。よって $$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^3f(t)e^{-t}\,dt &=\int_0^1(1-t)e^{-t}\,dt+\int_1^2(t-1)e^{-t}\,dt+\int_2^3e^{-t}\,dt\\ &=e^{-1}+(e^{-1}-2e^{-2})+(e^{-2}-e^{-3})\\ &=2e^{-1}-e^{-2}-e^{-3}=\frac{(e-1)(2e+1)}{e^3}. \end{aligned}$$ 従って $I_n=e^{-3n}(2e^2-e-1)/e^3$。 (3) 区間ごとの積分の和に分けると $$\displaystyle J_n=\sum\limits _{k=0}^{n-1}I_k=\frac{(e-1)(2e+1)}{e^3}\,\frac{1-e^{-3n}}{1-e^{-3}}.$$ $n\to\infty$ とすると $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}J_n=\frac{2e^2-e-1}{e^3-1}=\frac{(e-1)(2e+1)}{(e-1)(e^2+e+1)}=\frac{2e+1}{e^2+e+1}.$$