山口大学 2019年数学第2問解答・解説

図形の性質ベクトル

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1問題

山口大学2019年度第2問配点 50点

三角形の3頂点から対辺またはその延長に下ろした垂線は、1点で交わる。その点を三角形の垂心という。

$\triangle ABC$ の外心を $O$ 、垂心を $H$ とするとき、次の問いに答えなさい。ただし、 $\triangle ABC$ は直角三角形ではないとする。

(1) 直線 $OB$ と $\triangle ABC$ の外接円との交点で $B$ でない点を $D$ とする。四角形 $AHCD$ は平行四辺形であることを示しなさい。

(2) 辺 $BC$ の中点を $M$ とする。 $\overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{OM}$ が成り立つことを示しなさい。

(3) $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}$ が成り立つことを示しなさい。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) 四角形AHCDは平行四辺形である。 $(2) \overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{OM}$ 。 $(3) \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) $B,O,D$ は一直線上にあり、 $OB=OD$ なので $BD$ は直径である。円周角の定理から $AD\perp AB,CD\perp CB$ 。垂心の性質から $CH\perp AB,AH\perp BC$ なので $AD\parallel CH,CD\parallel AH$ 。よって四角形 $AHCD$ は平行四辺形である。 (2) 平行四辺形より $\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{DC}$ 。三角形 $BCD$ で $O,M$ はそれぞれ $BD,BC$ の中点なので、中点連結定理より $2\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AH}.$ (3) 平行四辺形の対角線は中点で交わるので $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}+\overrightarrow{OD}.$ $\overrightarrow{OD}=-\overrightarrow{OB}$ を代入して $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}.$

この問題で使う考え方

円周角
中点連結定理

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