山口大学 2019年数学第1問解答・解説

指数関数・対数関数微分法

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1問題

山口大学2019年度第1問配点 50点

次の問いに答えなさい。ただし、対数は自然対数とする。

(1) $x>0$ のとき、不等式 $x>\log(1+x)$ が成り立つことを示しなさい。

(2) 関数 $f(x)$ は、 $x\geq0$ で定義された連続関数で、 $f(0)=0$ を満たし、 $x>0$ で第2次導関数 $f''(x)$ をもつとする。 $x>0$ で常に $f''(x)<0$ ならば、関数 $\displaystyle \frac{f(x)}{x}$ は $x>0$ で減少することを示しなさい。

(3) $0<a<b<1$ のとき、次の不等式が成り立つことを示しなさい。 $\displaystyle \frac{a}{b}<\frac{\log(1+a)}{\log(1+b)}<\frac{1}{\log 2}\cdot\frac{a}{b}$

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$x>\log(1+x)\ (x>0)$
(2)
$f(x)/x is strictly decreasing for x>0$
(3)
$\displaystyle \frac ab<\frac{\log(1+a)}{\log(1+b)}<\frac{a}{b\log2}$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) $g(x)=x-\log(1+x)$ とおき、 $\displaystyle g(0)=0,\ g^{\prime}(x)=\frac{x}{1+x}>0$ 。(2) $0<x<y$ に対し二つの区間で平均値の定理を用いると $\displaystyle \frac{f(x)}{x}=f^{\prime}(u)$ 、 $\displaystyle \frac{f(y)-f(x)}{y-x}=f^{\prime}(v)$ となり、 $u<v,\ f^{\prime\prime}<0$ より前者が大きい。 $\displaystyle \frac{f(y)}{y}$ はこの二つの傾きの正の重み付き平均なので $\displaystyle \frac{f(y)}{y}<\frac{f(x)}{x}$ 。(3) $F(x)=\log(1+x)$ は $F^{\prime\prime}<0$ なので $\displaystyle \frac{F(x)}{x}$ は減少し、 $a<b$ から左側を得る。右側は(1)の $\displaystyle \frac{F(a)}{a}<1$ と、 $b<1$ による $\displaystyle \frac{F(b)}{b}>F(1)=\log2$ を組み合わせる。詳細な高校生向け証明はauthor.tex。

この問題で使う考え方

差を関数にした導関数判定
平均値の定理と割線の傾き
関数の単調性と不等式整理

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