5岐阜大学 2010年 数学 第5問解答・解説

(1) 行列を成分ごとに計算すると $$A^2=\begin{pmatrix}a^2+bc&ab+bd\\ ac+dc&bc+d^2\end{pmatrix}.$$ したがって $$A^2-(a+d)A+(ad-bc)E =\begin{pmatrix} a^2+bc-a(a+d)+ad-bc&ab+bd-(a+d)b\\ ac+dc-(a+d)c&bc+d^2-d(a+d)+ad-bc \end{pmatrix} =O.$$ 各成分を整理するとすべて $0$ となるので、示された。

(2) $s=a+d$, $p=ad-bc$ とおく。$a,b,c,d$ が有理数なら $s,p$ も有理数であり、(1)より $$A^2=sA-pE.$$ これに右から $A$ を掛けると $A^3-sA^2+pA=O$ だから、$A^3=5E$ と仮定して上式を代入すれば $$(p-s^2)A+(5+sp)E=O. \tag{1}$$ $p-s^2\ne0$ なら、(1)から $A=\lambda E$ となる有理数 $\lambda$ が存在する。このとき $A^3=5E$ より $\lambda^3=5$ となり、$\sqrt[3]{5}$ が無理数であることに反する。 一方、$p-s^2=0$ なら (1)から $5+sp=0$ である。$p=s^2$ を用いると $s^3=-5$、したがって $(-s)^3=5$ となるが、$s$ は有理数なので、これも $\sqrt[3]{5}$ の無理性に反する。 いずれの場合も矛盾するから、条件を満たす有理数成分の $A$ は存在しない。

(3) $s=a+d$, $p=ad-bc$ とおく。(1)より $$A^2=sA-pE,\qquad A^3=(s^2-p)A-spE. \tag{2}$$ $B=A^3$ とおけば $B^2=-E$ である。$B=\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}$ とし、$u=x+w$, $v=xw-yz$ とおく。(1)を $B$ に適用すると $$B^2-uB+vE=O,$$ ゆえに $-uB+(v-1)E=O$ である。$B$ は実数倍の $E$ ではない。実際、$B=rE$ なら $r^2=-1$ となって実数 $r$ が存在しない。したがって $B$ と $E$ は一次独立であり、 $$u=0,\qquad v=1. \tag{3}$$ (2)から、$B$ の対角成分の和は $$u=(s^2-p)s-2sp=s(s^2-3p).$$ また、任意の実数 $\alpha,\beta$ について成分を展開すれば $$\begin{aligned} &(\alpha a+\beta)(\alpha d+\beta)-(\alpha b)(\alpha c)\\ &\qquad=\alpha^2p+\alpha\beta s+\beta^2. \end{aligned}$$ これを (2) の $\alpha=s^2-p$, $\beta=-sp$ に適用すると $$v=p(s^2-p)^2-s^2p(s^2-p)+s^2p^2=p^3.$$ よって (3) から $p^3=1$ であり、$p$ は実数だから $p=1$。さらに $s(s^2-3p)=0$ より $$s=0,\quad s=\sqrt3,\quad s=-\sqrt3.$$ したがって求める組は $$(s,p)=(0,1),\quad(\sqrt3,1),\quad(-\sqrt3,1).$$ それぞれの例として、 $$A_0=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix},\qquad A_s=\begin{pmatrix}0&-1\\1&s\end{pmatrix}\quad(s=\sqrt3,-\sqrt3)$$ をとる。$A_0^2=-E$ なので $A_0^6=-E$。また、$s^2=3$ のとき成分計算から $A_s^2=sA_s-E$、したがって $A_s^3=2A_s-sE$ であり、 $$(A_s^3)^2=(2A_s-sE)^2 =4A_s^2-4sA_s+3E=-E.$$ ゆえに各 $A_s$ は $A_s^6=-E$ を満たす。各行列の $a+d$ と $ad-bc$ はそれぞれ $(0,1)$、$(\sqrt3,1)$、$(-\sqrt3,1)$ である。