2岐阜大学 2010年 数学 第2問解答・解説

3枚のカードを同時に取り出すので、順序を無視した$\displaystyle \binom n3$個の組合せは同様に確からしい。条件$b-a=c-b$を満たす組は、公差$d=b-a=c-b\ge1$を定めると $$(a,b,c)=(a,a+d,a+2d),\qquad 1\le a\le n-2d$$ と一意に表せる。したがって有利な組の数は $$\displaystyle T_n=\sum\limits _{d=1}^{\lfloor(n-1)/2\rfloor}(n-2d).$$

(1) $n=5$では$T_5=3+1=4$、全組合せ数は$\displaystyle \binom53=10$なので $$\displaystyle p_5=\frac4{10}=\boxed{\frac25}.$$

(2) $n=6$では$T_6=4+2=6$、全組合せ数は$\displaystyle \binom63=20$なので $$\displaystyle p_6=\frac6{20}=\boxed{\frac3{10}}.$$

(3) $n=2m+1$（$m\ge1$）なら $$\displaystyle T_n=\sum\limits _{d=1}^m(2m+1-2d)=1+3+\cdots+(2m-1)=m^2.$$ また$\displaystyle \binom{2m+1}{3}=m(4m^2-1)/3$であるから $$\displaystyle p_n=\frac{m^2}{m(4m^2-1)/3}=\frac{3m}{4m^2-1} =\boxed{\frac{3(n-1)}{2n(n-2)}}\quad(n\text{ odd}).$$

(4) $n=2m$（$m\ge2$）なら $$\displaystyle T_n=\sum\limits _{d=1}^{m-1}(2m-2d)=2(1+2+\cdots+(m-1))=m(m-1).$$ $\displaystyle \binom{2m}{3}=2m(m-1)(2m-1)/3$なので $$\displaystyle p_n=\frac{m(m-1)}{2m(m-1)(2m-1)/3} =\boxed{\frac{3}{2(n-1)}}\quad(n\text{ even}).$$