2新潟大学 2010年 数学 第2問解答・解説

各自然数 $k$ の出現回数を $c_k$ とすると $k\le c_k\le k+2$。数列は非減少なので、各値は連続したブロックを作る。

(1) $c_1=1,2,3$ に分ける。$c_1=1$ なら $c_2=2,3,4$ に応じて $$(1,2,2,3,3),\quad(1,2,2,2,3),\quad(1,2,2,2,2).$$ $c_1=2$ なら $c_2=2$ で $(1,1,2,2,3)$、$c_2=3,4$ で $(1,1,2,2,2)$。$c_1=3$ なら $(1,1,1,2,2)$。これらは後の出現回数を許容範囲内に選べばすべて無限列に延長できる。したがって可能な初めの5項は $$(1,1,1,2,2),\ (1,1,2,2,2),\ (1,1,2,2,3),\ (1,2,2,2,2),\ (1,2,2,2,3),\ (1,2,2,3,3).$$

(2) $a_n$ では $k$ が $k$ 個ずつ現れるから、$k$ 以下の項数は $k(k+1)/2$。 $$\displaystyle \frac{19\cdot20}{2}=190<210=\frac{20\cdot21}{2}$$ より $a_{210}=20$。

(3) 各 $k$ を最大回数 $k+2$ 個ずつ並べた列を $q$ とする。任意の許容列で $k$ 以下の項数は $\displaystyle \sum\limits _{j=1}^k c_j\le\sum\limits _{j=1}^k(j+2)$ であり、右辺は $q$ での $k$ 以下の項数。したがって全ての位置で $q_i\le p_i$ となり、$q$ が和を最小にする。値7までの個数は $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{7}(k+2)=42,$$ 和は $\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{7}k(k+2)=140+56=196$。残り8項は8なので $$\displaystyle \min\sum\limits _{i=1}^{50}p_i=196+8\cdot8=260.$$