4新潟大学 2010年 数学 第4問解答・解説

agraph{(1)} $u=\sqrt{1+e^{2t}}$ とおくと$u>1,$ $e^{2t}=u^2-1$ であり、微分して$\displaystyle dt=\frac{u}{u^2-1}\,du$ を得る。$t=0$ で$u=\sqrt2,$ $t=x$ で$u=U=\sqrt{1+e^{2x}}$ だから、$$\displaystyle \begin{aligned}F(x)&=\int_{\sqrt2}^{U}\frac{u^2}{u^2-1}\,du\\&=\int_{\sqrt2}^{U}\left(1+\frac12\left(\frac1{u-1}-\frac1{u+1}\right)\right)du\\&=U-\sqrt2+\frac12\ln\frac{U-1}{U+1}-\frac12\ln\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2+1}\\&=U-\sqrt2+\ln(1+\sqrt2)+\frac12\ln\frac{U-1}{U+1}.\end{aligned}$$ 最後に$\displaystyle \frac{\sqrt2+1}{\sqrt2-1}=(1+\sqrt2)^2$ を用いた。

agraph{(2)} $U=\sqrt{1+e^{2x}}$ とおく。$\displaystyle U-e^x=\frac{U^2-e^{2x}}{U+e^x}=\frac1{U+e^x}\to0$ であり、$U\to\infty$ より$\displaystyle \frac{U-1}{U+1}\to1$ だから$\displaystyle \ln\frac{U-1}{U+1}\to0$ である。(1)の式から$\displaystyle \lim\limits _{x\to\infty}\{F(x)-e^x\}=\ln(1+\sqrt2)-\sqrt2$ を得る。