新潟大学 2010年数学第3問解答・解説

数列数学的な表現の工夫

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1問題

新潟大学2010年度第3問

行列 A = [[1, −3], [2, d]] は，ある実数 k に対して等式 A² = kA を満たす。このとき，次の問いに答えよ。ただし，E = [[1, 0], [0, 1]] とする。

(1) k と d の値を求めよ。

(2) 実数 b と c が等式 (E + bA)(E + 2A) = E + cA を満たすとき，c を b で表せ。

(3) 数列 {a_n} が任意の自然数 n に対して等式 (E + 2A)^n = E + a_n A を満たすとき，a_n を n で表せ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$(1)\space{}k=-5,\space{}d=-6.$
$(2)\space{}c=2-9b.$
$\displaystyle (3)\space{}a_n=\frac{1+9(-9)^{n-1}}5\space{}(n\ge1).$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) $(1,1)$ 成分を比較して $k=-5$ 。 $(1,2)$ 成分から $-3-3d=-3k=15$ となるので $d=-6$ 。他の成分も $(2,1):\ 2+2d=-10=2k$ 、 $(2,2):\ d^2-6=30=kd$ と一致する。よって $\boxed{k=-5,\qquad d=-6}.$ したがって $A^2=-5A$ である。

(2) 行列の積を展開し、 $A^2=-5A$ を用いると $\begin{aligned} (E+bA)(E+2A) &=E+(b+2)A+2bA^2\\ &=E+(b+2-10b)A\\ &=E+(2-9b)A. \end{aligned}$ 従って $\boxed{c=2-9b}.$

(3) $n=1$ のとき $a_1=2$ 。また、定義式の両辺に $E+2A$ を右から掛けると $(E+a_nA)(E+2A)=E+(2-9a_n)A,$ ゆえに $a_{n+1}=2-9a_n$ である。定数解は $a=2-9a$ より $\displaystyle a=\frac15$ 。従って $\displaystyle a_{n+1}-\frac15=-9\left(a_n-\frac15\right).$ これを初項 $a_1=2$ から反復して $\displaystyle a_n-\frac15=(-9)^{n-1}\left(2-\frac15\right),$ すなわち $\displaystyle \boxed{a_n=\frac{1+9(-9)^{n-1}}5} \qquad(n\ge1).$

この問題で使う考え方

成分比較
分配法則とA²=−5Aの代入
一次漸化式の定数解移動

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