IV鳥取大学 2026年 数学 第IV問解答・解説

原点 $O$、点 $A(a,1/a)$、$B(b,1/b)$ の三角形の面積を座標で表すと $$\displaystyle S=\frac12\left|a\cdot\frac1b-b\cdot\frac1a\right| =\frac12\left|\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\right| =\frac{|a^2-b^2|}{2ab}$$ となる。ここで $a,b>0$ を用いて分母を整理した。

(2) では $\displaystyle u=\theta-\frac\pi4$ とおくと $0<u<\pi$ である。加法定理より $$b-a=\sin\theta-\cos\theta=\sqrt2\sin u>0.$$ また $a,b\ge\sqrt2-1>0$ だから、$b>a>0$ であり、(1) の絶対値を外して $$\displaystyle f(\theta)=\frac{b^2-a^2}{2ab}=\frac{(b-a)(a+b)}{2ab}$$ と書ける。さらに $$\displaystyle \sin\theta+\cos\theta=\sqrt2\cos u,\qquad \sin\theta\cos\theta=\frac12\cos 2u$$ なので $$\displaystyle a+b=\sqrt2(2+\cos u),\qquad ab=2+2\cos u+\frac12\cos2u =\cos^2u+2\cos u+\frac32.$$ したがって $$\displaystyle f(\theta)=\frac{(2+\cos u)\sin u}{\cos^2u+2\cos u+\frac32}.$$ $c=\cos u$ とおく。$0<u<\pi$ より $-1<c<1$、かつ $\sin u=\sqrt{1-c^2}$ であるから、面積は $$\displaystyle g(c)=\frac{(c+2)\sqrt{1-c^2}}{c^2+2c+\frac32}$$ となる。分母は $\displaystyle (c+1)^2+\frac12>0$ であり、微分すると $$\displaystyle g'(c)=-\frac{2(2c+1)(4c+5)}{\sqrt{1-c^2}(2c^2+4c+3)^2}.$$ $-1<c<1$ では分母が正で $4c+5>0$ だから、$g'(c)>0$ は $c<-1/2$ のとき、$g'(c)<0$ は $c>-1/2$ のときに成り立つ。よって最大となるのは $c=-1/2$、すなわち $\displaystyle u=\frac{2\pi}{3}$ のときである。したがって $$\displaystyle \theta=u+\frac\pi4=\frac{11\pi}{12}.$$ このとき $$\displaystyle f(\theta)=g\!\left(-\frac12\right) =\frac{\frac32\cdot\frac{\sqrt3}{2}}{\frac34} =\sqrt3.$$ また $u\to0^+,\pi^-$ では $\sin u\to0$ で面積は $0$ に近づく。求めた点は許容区間の内部にあり、導関数の符号がそこで正から負へ変わることとも一致する。