III鳥取大学 2026年 数学 第III問解答・解説

・ $s=1+|\alpha|^2$ とおくと $s>0$ である。絶対値の二乗を展開すると $$|1-\alpha z|^2=1-\alpha z-\overline{\alpha}\,\overline z+|\alpha|^2|z|^2$$ だから、 $$\displaystyle \begin{aligned} A&=s|z|^2-\alpha z-\overline{\alpha}\,\overline z+1\\ &=s\left|z-\frac{\overline{\alpha}}s\right|^2+1-\frac{|\alpha|^2}s\\ &=s\left|z-\frac{\overline{\alpha}}s\right|^2+\frac1s. \end{aligned}$$ 平方絶対値は0以上で、0となるのは $z=\overline{\alpha}/s$ のときである。したがって $$\displaystyle \min A=\frac1{1+|\alpha|^2},\qquad z=\frac{\overline{\alpha}}{1+|\alpha|^2}.$$

・ $t=1+|\alpha|^2+|\beta|^2$ とおくと $t>0$ である。展開して平方完成すると $$\displaystyle \begin{aligned} B&=t|z|^2-(\alpha+\beta)z-\overline{(\alpha+\beta)}\,\overline z+2\\ &=t\left|z-\frac{\overline{\alpha+\beta}}t\right|^2+2-\frac{|\alpha+\beta|^2}t. \end{aligned}$$ よって平方絶対値が0となるときに最小となり、 $$\displaystyle \min B=2-\frac{|\alpha+\beta|^2}{1+|\alpha|^2+|\beta|^2} =\frac{2+|\alpha-\beta|^2}{1+|\alpha|^2+|\beta|^2}, \qquad z=\frac{\overline{\alpha+\beta}}{1+|\alpha|^2+|\beta|^2}.$$