I鳥取大学 2026年 数学 第I問解答・解説

高さ $u\ge0$ における容器の半径は、$u=e^{2x}-1$ から $$\displaystyle x=\frac12\ln(u+1)$$ である。よってその高さでの水平断面積は $$\displaystyle A(u)=\pi x^2=\frac{\pi}{4}\{\ln(u+1)\}^2.$$ 水面の高さを $y=y(t)$ とすると、水の体積は $$\displaystyle V(y)=\int_0^y A(u)\,du.$$ 注水量は毎分 $a\pi$ なので、連鎖律と積分の微分から $$\displaystyle a\pi=\frac{dV}{dt}=A(y)\frac{dy}{dt}.$$ 水面が高さ $b>0$ にあるとき $$\displaystyle \frac{dy}{dt}=\frac{a\pi}{A(b)}=\frac{4a}{\{\ln(b+1)\}^2}.$$ これが (1) である。

水面面積は $\displaystyle S(t)=A(y(t))=\frac{\pi}{4}\{\ln(y+1)\}^2$。したがって $$\displaystyle \frac{dS}{dt}=\frac{dA}{dy}\frac{dy}{dt} =\frac{\pi}{2}\frac{\ln(y+1)}{y+1}\frac{dy}{dt}.$$ ここに $y=b$ と (1) の式を代入すれば $$\displaystyle \frac{dS}{dt}=\frac{2\pi a}{(b+1)\ln(b+1)}.$$ これが (2) である。両式は $b>0$ で有限である。底の $b=0$ では $A(0)=0$ となるため、有限の瞬間速度はない。実際、$\ln(1+u)\sim u$ より $A(u)\sim\pi u^2/4$、$V(y)\sim\pi y^3/12$。$V(y)=a\pi t$ から $y/t\to+\infty$、また $S/t\to+\infty$ となり、底での右側変化率は有限でない。