新潟大学 2017年数学第5問解答・解説

このページには広告が含まれます。

1問題

新潟大学2017年度第5問

f(x)=xe^{1-x^2} とする。2つの曲線 y=f(x) と y=x^k で囲まれた部分の面積をS_kとする。ただし、kは自然数とする。次の問いに答えよ。必要があれば lim_{x→∞} xe^{-x^2}=0 が成り立つことを用いてよい。

(1) f(x)の導関数f'(x)および第2次導関数f''(x)を求めよ。

(2) 関数y=f(x)の極値、グラフの凹凸と変曲点、および漸近線を求め、グラフの概形をかけ。

(3) S_kを、kを用いて表せ。

(4) 次の条件(*)を満たす最小の自然数nを求めよ。 (*) すべての自然数mに対して、4S_{2n-1} > 7S_{2m} が成り立つ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$f'(x)=e^{1-x^2}(1-2x^2)$ , $f''(x)=2xe^{1-x^2}(2x^2-3)$
(2)
極小点 $\displaystyle \left(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\sqrt{\frac{e}{2}}\right)$ 、極大点 $\displaystyle \left(\frac{1}{\sqrt{2}},\sqrt{\frac{e}{2}}\right)$ 。変曲点 $\displaystyle \left(-\sqrt{\frac{3}{2}},-\sqrt{\frac{3}{2e}}\right),\ (0,0),\ \left(\sqrt{\frac{3}{2}},\sqrt{\frac{3}{2e}}\right)$ 。水平漸近線 $y=0$ 。
(3)
偶数k: $\displaystyle \frac{e-1}{2}-\frac{1}{k+1}$ 、奇数k: $\displaystyle e-1-\frac{2}{k+1}$
(4)
最小の $n=5$

解答を見る途中式つきの解答

積・合成関数の微分から導関数を求め、符号表で増減・凹凸を調べる。曲線の交点と偶奇の対称性を確認して定積分で面積を計算する。偶数添字の面積が $\displaystyle \frac{e-1}{2}$ に下から近づくことを使い、全 $m$ に対する条件を必要十分条件へ直して最小 $n$ を決める。

この問題で使う考え方

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。