2新潟大学 2017年 数学 第2問解答・解説

(1) $B=(b,0,0), C=(0,c,0), D=(0,0,d)$ とおく。平行四辺形の対角線は互いに中点で交わるので、$A+C=B+D$。$A=(\sqrt2,\sqrt3,\sqrt6)$ と成分を比較して $$b=\sqrt2,\qquad c=-\sqrt3,\qquad d=\sqrt6.$$ したがって $B=(\sqrt2,0,0), C=(0,-\sqrt3,0), D=(0,0,\sqrt6)$。

(2) 隣り合う辺のベクトルを $\mathbf u=\overrightarrow{AB}=(0,-\sqrt3,-\sqrt6)$、$\mathbf v=\overrightarrow{AD}=(-\sqrt2,-\sqrt3,0)$ とする。すると $|\mathbf u|^2=9$、$|\mathbf v|^2=5$、$\mathbf u\cdot\mathbf v=3$。辺のなす角を $\theta$、面積を $S$ とすれば $$S^2=|\mathbf u|^2|\mathbf v|^2-(\mathbf u\cdot\mathbf v)^2 =9\cdot5-3^2=36,$$ よって $S=6$。

(3) $B,C,D$ を通る平面は $$\displaystyle \frac{x}{\sqrt2}-\frac{y}{\sqrt3}+\frac{z}{\sqrt6}=1.$$ 法線ベクトルとして $\mathbf n=(1/\sqrt2,-1/\sqrt3,1/\sqrt6)$ を取ると、$|\mathbf n|^2=1/2+1/3+1/6=1$。垂線の足は $H=t\mathbf n$ と書ける。平面上にあるため $\mathbf n\cdot H=1$、すなわち $t|\mathbf n|^2=t=1$。したがって $$\displaystyle H=\left(\frac{\sqrt2}{2},-\frac{\sqrt3}{3},\frac{\sqrt6}{6}\right).$$