3新潟大学 2017年 数学 第3問解答・解説

・ 漸化式に順に代入すると $$\displaystyle a_2=\frac{3(1/3)+1}{1/3+3}=\frac35,\quad a_3=\frac{3(3/5)+1}{3/5+3}=\frac79,\quad a_4=\frac{3(7/9)+1}{7/9+3}=\frac{15}{17},\quad a_5=\frac{3(15/17)+1}{15/17+3}=\frac{31}{33}.$$

・ これらから $\displaystyle a_n=\dfrac{2^n-1}{2^n+1}$ と予想する。$n=1$ では $a_1=1/3=(2-1)/(2+1)$ で成り立つ。$n=k$ で成り立つと仮定すると $$\displaystyle a_{k+1}=\frac{3\dfrac{2^k-1}{2^k+1}+1}{\dfrac{2^k-1}{2^k+1}+3} =\frac{3(2^k-1)+(2^k+1)}{(2^k-1)+3(2^k+1)} =\frac{4\cdot2^k-2}{4\cdot2^k+2} =\frac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}+1}.$$ よって数学的帰納法により、すべての自然数 $n$ で $$\displaystyle a_n=\frac{2^n-1}{2^n+1}$$ が成り立つ。

・ (2)を用いると $$\displaystyle a_n>1-10^{-18} \text{であるための必要十分条件は} \frac{2}{2^n+1}<10^{-18} \text{、すなわち} 2^n>2\cdot10^{18}-1.$$ $2^n$ は整数なので、これは $2^n\ge 2\cdot10^{18}$、すなわち $2^{n-1}\ge10^{18}$ と同値である。常用対数をとると $$(n-1)\log_{10}2\ge18.$$ したがって $(n-1)\cdot0.3010\ge18$、すなわち $n\ge1+18/0.3010\approx60.80$ であり、最小の自然数は $n=61$。