4九州大学 2019年 数学 第4問解答・解説

座標平面上に $O(0,0),\ A(2,0),\ B(1,\sqrt3)$ をとる。 $$OA^2=4,\qquad OB^2=1+3=4,\qquad AB^2=(2-1)^2+(0-\sqrt3)^2=1+3=4$$ であるから $OA=OB=AB=2$ となり，三角形 $OAB$ は1辺の長さ2の正三角形である。

以下，$\vec a=\overrightarrow{OA}=(2,0),\ \vec b=\overrightarrow{OB}=(1,\sqrt3)$ とおく。このとき $$\vec a\cdot\vec b=2\cdot1+0\cdot\sqrt3=2,\qquad |\vec a|^2=|\vec b|^2=4$$ である。

(1) パラメータによる表示

点 $P_1$ は $A,B$ と異なる線分 $AB$ 上の点であるから，$0<s_1<1$ を満たすある実数 $s_1$ を用いて $$\overrightarrow{OP_1}=(1-s_1)\vec a+s_1\vec b$$ と表せる。一般に，点 $P_n$ が線分 $AB$ 上にあるとき，$0<s_n<1$ を満たす対応する実数 $s_n$ を $$\overrightarrow{OP_n}=(1-s_n)\vec a+s_n\vec b$$ により定める（$s_n=0,1$ はそれぞれ $P_n=A,B$ に対応するが，構成上 $P_n$ はいつも $A,B$ と異なることを後で確認する）。

(2) $Q_n$ の計算（$OB$ への正射影）

$Q_n$ は $P_n$ から直線 $OB$ に下ろした垂線の足であるから，正射影の公式より $$\displaystyle \overrightarrow{OQ_n}=\frac{\overrightarrow{OP_n}\cdot\vec b}{|\vec b|^2}\vec b .$$ ここで $$\overrightarrow{OP_n}\cdot\vec b=(1-s_n)(\vec a\cdot\vec b)+s_n|\vec b|^2=(1-s_n)\cdot2+s_n\cdot4=2+2s_n$$ であるから $$\displaystyle \overrightarrow{OQ_n}=\frac{2+2s_n}{4}\vec b=\frac{1+s_n}{2}\vec b .$$ （$\displaystyle 0\le\tfrac12<\tfrac{1+s_n}{2}<1$ だから $Q_n$ は確かに線分 $OB$ 上にある。）

(3) $R_n$ の計算（$OA$ への正射影）

同様に，$R_n$ は $Q_n$ から直線 $OA$ に下ろした垂線の足であるから $$\displaystyle \overrightarrow{OR_n}=\frac{\overrightarrow{OQ_n}\cdot\vec a}{|\vec a|^2}\vec a,\qquad \overrightarrow{OQ_n}\cdot\vec a=\frac{1+s_n}{2}(\vec b\cdot\vec a)=\frac{1+s_n}{2}\cdot2=1+s_n$$ より $$\displaystyle \overrightarrow{OR_n}=\frac{1+s_n}{4}\vec a .$$ （$\displaystyle 0\le\tfrac14<\tfrac{1+s_n}{4}<\tfrac12\le1$ だから $R_n$ は確かに線分 $OA$ 上にある。）

(4) $P_{n+1}$ の計算と漸化式

直線 $AB$ は点 $A$ を通り，方向ベクトル $\vec b-\vec a$ をもつ直線である。$P_{n+1}$ は $R_n$ からこの直線へ下ろした垂線の足であるから，正射影の公式より $$\displaystyle \overrightarrow{OP_{n+1}}=\vec a+\frac{(\overrightarrow{OR_n}-\vec a)\cdot(\vec b-\vec a)}{|\vec b-\vec a|^2}(\vec b-\vec a).$$ ここで $$\displaystyle \overrightarrow{OR_n}-\vec a=\left(\frac{1+s_n}{4}-1\right)\vec a=\frac{s_n-3}{4}\vec a,$$ $$\displaystyle (\overrightarrow{OR_n}-\vec a)\cdot(\vec b-\vec a)=\frac{s_n-3}{4}\bigl(\vec a\cdot\vec b-|\vec a|^2\bigr)=\frac{s_n-3}{4}(2-4)=\frac{3-s_n}{2},$$ また $|\vec b-\vec a|^2=AB^2=4$ であるから，$\overrightarrow{OP_{n+1}}=(1-s_{n+1})\vec a+s_{n+1}\vec b$ の係数を比較して $$\displaystyle s_{n+1}=\frac{(3-s_n)/2}{4}=\frac{3-s_n}{8}\qquad(n=1,2,3,\ldots)$$ という $s_n$ の漸化式を得る。

(5) 漸化式の解析と収束

不動点 $s^{*}$ は $\displaystyle s^{*}=\dfrac{3-s^{*}}{8}$ より $8s^{*}=3-s^{*}$，すなわち $\displaystyle s^{*}=\dfrac13$。両辺から不動点の式を引くと $$\displaystyle s_{n+1}-\frac13=\frac{3-s_n}{8}-\frac13=\frac{9-3s_n-8}{24}=\frac{1-3s_n}{24}=-\frac18\left(s_n-\frac13\right)$$ となるので，数列 $\displaystyle \left\{s_n-\dfrac13\right\}$ は初項 $\displaystyle s_1-\dfrac13$，公比 $\displaystyle -\dfrac18$ の等比数列である。よって $$\displaystyle s_n-\frac13=\left(-\frac18\right)^{n-1}\left(s_1-\frac13\right).$$ $\displaystyle \left|-\dfrac18\right|<1$ であるから，$s_1$ の値（すなわち最初の点 $P_1$ の位置）によらず $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}s_n=\frac13$$ が成り立つ。

なお，$0<s_1<1$ ならば $2<3-s_1<3$ より $\displaystyle 0<\dfrac14<s_2=\dfrac{3-s_1}{8}<\dfrac38<1$ となり，帰納的にすべての $n$ で $0<s_n<1$ が成り立つ。したがって各 $Q_n,R_n,P_{n+1}$ は問題文の通り対応する線分上に定まり，構成は矛盾なく続けられる。

(6) 極限点の座標

$\overrightarrow{OP_n}=(1-s_n)\vec a+s_n\vec b$ に $\displaystyle s_n\to\dfrac13$ を代入して $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\overrightarrow{OP_n}=\frac23\vec a+\frac13\vec b=\frac23(2,0)+\frac13(1,\sqrt3)=\left(\frac43+\frac13,\ \frac{\sqrt3}{3}\right)=\left(\frac53,\ \frac{\sqrt3}{3}\right).$$

よって，$P_n$ が限りなく近づく点の座標は $$\displaystyle \boxed{\left(\dfrac{5}{3},\ \dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)}$$ である。

検算

(i) 数値例：$P_1$ を線分 $AB$ の中点にとると $\displaystyle s_1=\dfrac12$ である。このとき $$\displaystyle s_2=\frac{3-0.5}{8}=0.3125,\quad s_3=\frac{3-0.3125}{8}\fallingdotseq0.335938,\quad s_4=\frac{3-0.335938}{8}\fallingdotseq0.333008$$ となり，$\displaystyle \dfrac13=0.333333\ldots$ へ単調に近づいていくことが確認できる。

(ii) 座標のままの別ルート：$P_n=(x_n,y_n)$ として同じ正射影の手順を直接座標計算すると $$\displaystyle x_{n+1}=\frac{1}{16}x_n+\frac{\sqrt3}{16}y_n+\frac32,\qquad y_{n+1}=-\frac{\sqrt3}{16}x_n-\frac{3}{16}y_n+\frac{\sqrt3}{2}$$ という漸化式が得られる。極限点 $(x,y)$ はこれらの不動点として $$15x-\sqrt3\,y=24,\qquad \sqrt3\,x+19y=8\sqrt3$$ を満たす。第1式に19を，第2式に$\sqrt3$を掛けて辺々加えると $288x=480$ より $\displaystyle x=\dfrac53$，これを第2式に代入して $\displaystyle y=\dfrac{\sqrt3}{3}$ を得る。ベクトルによる計算結果と完全に一致し，答えの正しさが確かめられる。

(iii) 得られた極限点は $\displaystyle 0<s=\dfrac13<1$ に対応する点であり，これは線分 $AB$ を $AP:PB=1:2$ に内分する点である。実際 $\displaystyle A+\dfrac13(B-A)=\left(2-\dfrac13,\ \dfrac{\sqrt3}{3}\right)=\left(\dfrac53,\dfrac{\sqrt3}{3}\right)$ となり，構成上すべての $P_n$ が線分 $AB$ 上にあることと矛盾しない。