16自治医科大学 2019年 数学 第16問解答・解説

曲線上の点を $P(u,u^2-13),\ Q(v,v^2-13)$ とする。線分 $PQ$ は $A(0,-8)$ を通るので、その直線はある実数 $m$ を用いて $$y=mx-8$$ と表せる。曲線 $C$ との交点の $x$ 座標 $u,v$ は $$x^2-13=mx-8\quad\text{すなわち}\quad x^2-mx-5=0$$ の2解である。この方程式の判別式は $m^2+20>0$、解の積は $-5$ だから、交点は常に異なり、$x$ 座標は互いに異符号である。したがって $A$ はこの2点を結ぶ線分上にあり、$m$ は任意の実数を動く。

解と係数の関係から $u+v=m,\ uv=-5$ である。中点を $(X,Y)$ とすると $$\displaystyle X=\frac{u+v}{2}=\frac m2,\qquad Y=\frac{(u^2-13)+(v^2-13)}2 =\frac{(u+v)^2-2uv}{2}-13 =\frac{m^2}{2}-8.$$ よって $m=2X$ を代入すると、中点の軌跡は $Y=2X^2-8$ である。この放物線と $x$ 軸との交点は $X=\pm2$ であり、$-2\le X\le2$ では放物線が $x$ 軸以下にある。したがって囲まれる面積は $$\displaystyle S=\int_{-2}^{2}\{0-(2X^2-8)\}\,dX =\left[8X-\frac{2}{3}X^3\right]_{-2}^{2} =\frac{64}{3}.$$ ゆえに $$\displaystyle \frac38S=\frac38\cdot\frac{64}{3}=8.$$ 選択肢は **ラ** である。