7自治医科大学 2019年 数学 第7問解答・解説

$y=x^2+18x+30$ とおくと、与えられた方程式は $$y=2\sqrt{y+15}\qquad (y+15\ge 0)$$ と表せる。右辺は $0$ 以上なので、解では $y\ge0$ である。この条件のもとで両辺を平方すると $$y^2=4y+60,\qquad (y-10)(y+6)=0$$ となるが、$y\ge0$ より $y=10$ である。したがって $$x^2+18x+30=10,\qquad (x+9)^2=61$$ より、実数解は $x=-9+\sqrt{61},\ -9-\sqrt{61}$ である。これらは $y=10$ を満たすため、もとの式でも右辺は $2\sqrt{25}=10$ となり、いずれも実際に解である。よって $$p=-18,\qquad q=(-9+\sqrt{61})(-9-\sqrt{61})=81-61=20,$$ したがって $p+q=2$ である。