1旭川医科大学 2021年 数学 第1問解答・解説

(1) $f'(x)=3(x^2-a^2)$ なので、水平接線の接点候補は $x=\pm a$ である。$f(-a)=2a^3>0$ だから、$y=-1$ に接するのは $x=a$ の場合である。$f(a)=-2a^3=-1$ より $$\displaystyle a=\frac1{\sqrt[3]{2}}.$$ このとき $$\displaystyle f(1)=1-\frac3{\sqrt[3]{4}}.$$ $\sqrt[3]{4}<3$ なので $f(1)<0$。また $(2\sqrt[3]{4})^3=32>27=3^3$ より $2\sqrt[3]{4}>3$、したがって $f(1)>-1$ である。

(2) $t=a^2$ とおく。縦辺 $x=1,-1$ における関数値はそれぞれ $1-3t,-1+3t$ である。$0<t<2/3$ なら各縦辺と曲線は内点で1点ずつ交わり、$t=2/3$ なら交点は頂点となる。

$0<t<2/3$ では、上辺 $y=1$ に関する内部極大点 $x=-\sqrt t$ が $-1\le x\le1$ の範囲内にあり、その値は $2t^{3/2}$ である。両端では $f(-1)=-1+3t<1$、$f(1)=1-3t<1$。ここで $c=2^{-2/3}$ とおくと、$t<c$ では上辺と交わらず、$t=c$ では極大点で接し、$c<t<2/3$ では上辺とちょうど2点で交わる。$f$ は奇関数なので、下辺 $y=-1$ の交点数も同じである。

よって $c<t<2/3$ のとき、縦辺の2点と上下辺の各2点、計6点は互いに異なる。$t=c$ では縦辺の2点と上下辺の接点各1点で計4点である。$t=2/3$ では縦辺上の交点が上下辺上の頂点と重なり、上下辺に内点が各1点あるので計4点となる。$t>2/3$ では縦辺と交わらず、導関数の増減から上下辺との交点は各高々2点だから、計6点にはならない。したがって $$\displaystyle 2^{-2/3}<t<\frac23,\qquad \frac1{\sqrt[3]{2}}<a<\sqrt{\frac23}.$$

(3) $0<a\le1$ では、最大値 $m$ を端点値 $f(-1)=3a^2-1,\ f(1)=1-3a^2$ と内部極大値 $f(-a)=2a^3$ とで比較する。 $$\begin{aligned} f(1)-f(-1)&=2-6a^2,\\ f(1)-2a^3&=(1-2a)(a+1)^2,\\ 2a^3-f(-1)&=(1-a)^2(2a+1)\ge0. \end{aligned}$$ したがって $$\displaystyle m(a)= \begin{cases} 1-3a^2 &(0<a\le\frac12),\\ 2a^3 &(\frac12\le a\le1). \end{cases}$$ また $a\ge1$ では $-1\le x\le1$ で $f'(x)=3(x^2-a^2)\le0$ だから、最大値は $x=-1$ で $m(a)=3a^2-1$ となる。これらの式は $a=1$ でつながる。$m(a)$ は $a=1/2$ まで減少し、その後増加する。また $a\to0+$ で $m(a)\to1$ である。ゆえに最小値は $$\displaystyle m\left(\frac12\right)=\frac14$$ であり、そのとき $\displaystyle a=\frac12$ である。