I横浜市立大学 2018年 数学 第I問解答・解説

(1) 素数は$2$以上なので、$p^3,q^3\leq35-2^3=27$である。よって$p,q$はともに$2$または$3$である。$2^3+3^3=35$より、求める組は$(p,q)=(2,3),(3,2)$である。

(2) 左辺の定義と右辺の非負性から、$x\geq-1$かつ$1-2x^2\geq0$、すなわち$-1/\sqrt2\leq x\leq1/\sqrt2$が必要である。この範囲で両辺を平方すると$$\displaystyle \frac{1+x}{2}=(1-2x^2)^2\quad\text{すなわち}\quad 8x^4-8x^2-x+1=2\left(x+\frac12\right)(x-1)(4x^2+2x-1)=0.$$したがって候補は$\displaystyle x=-\frac12,1,\frac{-1+\sqrt5}{4},\frac{-1-\sqrt5}{4}$である。$x=1$は$1-2x^2<0$なので不適であり、$x=(-1-\sqrt5)/4$も$x^2=(3+\sqrt5)/8>1/2$より不適である。$x=-1/2$を代入すると両辺とも$1/2$である。$0<(-1+\sqrt5)/4<1/2$では右辺が正で、平方後の等式から元の等式が従う。よって$x=-1/2,(\sqrt5-1)/4$である。

(3) $S=[ABC]=\alpha+\beta+\gamma$とおく。鋭角三角形なので垂心$O$は内部にある。$A',O,A$はこの順に垂線上に並ぶ。底辺$BC$に対する高さから$S=BC\cdot AA'/2$、$\alpha=BC\cdot OA'/2$である。したがって$OA=AA'-OA'$と$AA''=2AA'$より、$OA''=AA'+OA'$である。$A''$と$A$は$O$から見て反対側にあり、$$\displaystyle \frac{OA''}{OA}=\frac{S+\alpha}{S-\alpha}.$$

同様に、$C',O,C$はこの順に並ぶ。高さから$$\displaystyle \frac{OC''}{OC}=\frac{S+\gamma}{S-\gamma}.$$

また、$C''$と$C$も$O$の反対側にある。

二つのベクトルはともに逆向きに伸縮する。$$\angle A''OC''=\angle AOC.$$

$[OAC]=\beta$なので、面積は$$\displaystyle [OA''C'']=\beta\frac{(S+\alpha)(S+\gamma)}{(S-\alpha)(S-\gamma)}=\frac{\beta(2\alpha+\beta+\gamma)(\alpha+\beta+2\gamma)}{(\beta+\gamma)(\alpha+\beta)}.$$

(4) $74\log_{10}6=74\times0.7782=57.5868$より$6^{74}=10^{57}\cdot10^{0.5868}$であり、桁数は$58$である。また$\log_{10}3=0.4771<0.5868<0.6021=\log_{10}4$なので$3<10^{0.5868}<4$。したがって最高位の数字は$3$である。

数・方程式・垂心の高さ比・常用対数を各小問ごとに確認。方程式では平方前の符号条件を課し、桁数では小数部分をlog10 3とlog10 4の間に挟む。