横浜市立大学 2018年数学第III問解答・解説

1問題

横浜市立大学2018年度第III問

以下の問いに答えよ。

(1) $n$ を素数でない4以上の整数とする。このとき， $n^{2}$ の約数 $d$ で， $n<d<n^{2}$ をみたすものが存在することを証明せよ。

(2) 整数 $\displaystyle\sum\limits _{k=0}^{50}\binom{101}{k}$ の約数の個数を求めよ。

(3) $\displaystyle X=3^{4}\cdot\left(\binom{11}{0}+\binom{11}{1}+\binom{11}{2}+\binom{11}{3}+\binom{11}{4}+\binom{11}{5}\right)$ とし，全体集合 $U=\{1,2,\ldots,X\}$ を考える。 $U$ の部分集合 $A,B,C$ を $\begin{aligned}A&=\{x\mid x\in U\text{ かつ }x\text{ は }X\text{ の約数}\},\\B&=\{x\mid x\in U\text{ かつ }x\text{ は }X^{2}\text{ の約数}\},\\C&=\{x\mid x=1,2,\ldots,X-1\}\end{aligned}$ とする。　 (ア) $X^{2}$ の約数で，かつ $X$ より小さく， $X$ の約数でないような整数からなる $U$ の部分集合を $D$ とする。 $D$ を $A,B,C$ を用いて表せ。　 (イ) (ア) における $D$ の要素の個数を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

(1) $n$ は素数でなく $n\ge4$ だから、素数 $p$ と整数 $q\ge2$ を用いて $n=pq$ と書ける。 $d=np$ とおくと $\displaystyle \frac{n^2}{d}=\frac{n}{p}=q\quad(q\text{ は正の整数}).$ また $p\ge2$ より $n<np$ 、 $q\ge2$ より $p<n$ なので $np<n^2$ 。従って $d$ は $n^2$ の約数で $n<d<n^2$ を満たす。

(2) 二項定理から $\displaystyle \sum\limits _{k=0}^{101}\binom{101}{k}=2^{101}$ 。対称性 $\displaystyle \binom{101}{k}=\binom{101}{101-k}$ により、 $k=0,\ldots,50$ の和は全体の半分、すなわち $2^{100}$ 。その正の約数は $2^j$ ( $j=0,\ldots,100$ ) なので、約数の個数は $101$ 。

(3)(ア) $B\cap C$ は $X^2$ の約数のうち $X$ より小さい整数全体であり、 $A$ を除くと $X$ の約数ではないものだけが残る。したがって $D=(B\cap C)\setminus A$ 。

(3)(イ) $11$ は奇数なので二項係数の対称性から $\displaystyle \sum\limits _{k=0}^{5}\binom{11}{k}=2^{10}$ 。よって $X=2^{10}3^4$ 、 $X^2=2^{20}3^8$ であり、 $X^2$ の正の約数は $21\cdot9=189$ 個。約数 $d$ と $X^2/d$ を組にすると、 $d=X$ 以外は一方が $X$ より小さく他方が大きい。従って $X$ 未満の約数は $(189-1)/2=94$ 個。 $X$ の約数は $11\cdot5=55$ 個で、そのうち $X$ 未満は $54$ 個である。よって $|D|=94-54=40.$

この問題で使う考え方

素因数分解
二項係数の対称性
集合差
約数の相補ペア

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2解答

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