1群馬大学 2019年 数学 第1問解答・解説

(1) $t=\log_x y$とおく。設問の対数が定義されるには$y\ne1$、すなわち$t\ne0$であり、底の変換から$\log_y x=1/t$である。よって $$\displaystyle \log_y\frac{x^3}{y^4}=3\log_y x-4\log_y y=\frac3t-4.$$

(2) $0<x<1,\ 0<y<1$なので $$\displaystyle t=\log_x y=\frac{\log y}{\log x}>0.$$ (1)を用いると不等式は $$\displaystyle t^2+\frac3t-4\le0 \quad\text{すなわち}\quad t^3-4t+3\le0 \quad\text{すなわち}\quad(t-1)(t^2+t-3)\le0.$$ $t>0$の範囲での解は $$\displaystyle 1\le t\le r,\qquad r=\frac{\sqrt{13}-1}{2}>1.$$ また$y=x^t$であり、$0<x<1$のとき$x^t$は$t$の増加とともに減少する。したがって $$x^r\le y\le x,\qquad0<x<1,$$ すなわち $$x^{(\sqrt{13}-1)/2}\le y\le x,\qquad0<x<1.$$ 図では、単位正方形内の曲線$y=x$と$y=x^{(\sqrt{13}-1)/2}$の間を塗り、両曲線を含める。$x=0,1$は条件で除かれるため、両曲線の端点$(0,0),(1,1)$は含まれない。