4群馬大学 2019年 数学 第4問解答・解説

(1) 極座標と直交座標の関係 $x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$ から $$r^2\cos2\theta=r^2(\cos^2\theta-\sin^2\theta)=x^2-y^2.$$ 従って $C_2$ は $x^2-y^2=1$ である。指定範囲 $-\pi/4<\theta<\pi/4$ では $\cos\theta>0$ なので、右側の枝 $x>0$ を表す。

(2) 回転軸に沿う座標と、それに垂直な座標を $$\displaystyle u=\frac{x-y}{\sqrt2},\qquad v=\frac{x+y}{\sqrt2}$$ とおく。回転軸 $y=-x$ は $v=0$ であり、 $$x^2+y^2=u^2+v^2,\qquad x^2-y^2=2uv.$$ 原点を含まない、円 $C_1$ と双曲線 $C_2$ に囲まれた部分は $$u>0,\quad v>0,\quad u^2+v^2\leq4,\quad 2uv\geq1$$ で表される。固定した $u$ に対して $$\displaystyle \frac1{2u}\leq v\leq\sqrt{4-u^2}.$$ 円と双曲線の交点では $u^2+v^2=4$ かつ $2uv=1$ だから $$(u+v)^2=5,\qquad (u-v)^2=3.$$ 従って積分区間の端は $$\displaystyle u_- =\frac{\sqrt5-\sqrt3}{2},\qquad u_+=\frac{\sqrt5+\sqrt3}{2}.$$ 固定した $u$ の断面を回転すると、外半径 $\sqrt{4-u^2}$、内半径 $1/(2u)$ の円環になる。よって体積は $$\displaystyle V=\pi\int_{u_-}^{u_+}\left(4-u^2-\frac1{4u^2}\right)\,du =\pi\left[4u-\frac{u^3}{3}+\frac1{4u}\right]_{u_-}^{u_+}.$$ ここで $u_+-u_-=\sqrt3$、$u_++u_-=\sqrt5$、$u_+u_-=1/2$ より $$\displaystyle u_+^3-u_-^3=(u_+-u_-)(u_+^2+u_+u_-+u_-^2)=\frac{9\sqrt3}{2}, \qquad \frac1{u_+}-\frac1{u_-}=-2\sqrt3.$$ これを代入すると $$\displaystyle \boxed{V=\pi\left(4\sqrt3-\frac{3\sqrt3}{2}-\frac{\sqrt3}{2}\right)=2\sqrt3\,\pi}.$$