5奈良県立医科大学 2020年 数学 第5問解答・解説

(1) $0<\beta<1$ とする。条件(ii)で $x=\beta,\ \alpha=1/\beta$ とおくと、$\beta\ne0$ かつ $\alpha>1$ なので $$\displaystyle f(1)=f(\alpha\beta)>\alpha f(\beta)=\frac{f(\beta)}{\beta}.$$ $\beta>0$ だから両辺に $\beta$ を掛けて、$\beta f(1)>f(\beta)$ を得る。

(2) 条件(i)と(1)で $\beta=1/2$ とした結果から $$\displaystyle 0\le f(1/2)<\frac12 f(1),$$ よって $f(1)>0$ である。また、(1)より任意の $0<\beta<1$ について $$0\le f(\beta)<\beta f(1).$$ $\beta\to0+$ のとき右辺は 0 に近づくから、はさみうちにより $\displaystyle \lim\limits _{\beta\to0+}f(\beta)=0$。f は 0 で連続なので $f(0)=0$ である。

(3) $x>y>0$ とする。条件(ii)で基準となる値を $y$、$\alpha=x/y$ とすると、$y\ne0$ かつ $\alpha>1$ であるから $$\displaystyle f(x)=f(\alpha y)>\alpha f(y)=\frac{x}{y}f(y).$$ 条件(i)より $f(y)\ge0$ であり、$\alpha>1$ だから $\alpha f(y)\ge f(y)$。したがって $f(x)>f(y)$ である。