5群馬大学 2021年 数学 第5問解答・解説

$P(x)=x^3+ax^2+bx+c$ とおく。各区間の内部では各式は微分可能なので、接続点 $0,1,2$ を調べる。

$x=0$ では $f(0)=0$ であり、右側の極限は $c$ だから、連続性より $c=0$。このとき $$\displaystyle \lim\limits _{h\to0^+}\frac{f(h)-f(0)}{h} =\lim\limits _{h\to0^+}(h^2+ah+b)=b.$$ 左側の微分係数は $1$ なので、微分可能であるためには $b=1$ が必要である。

$x=1$ では右側の極限が $0$ であるから、連続性より $$P(1)=1+a+b+c=0.$$ よって $b=1,\ c=0$ と合わせて $a=-2$。また、左側の微分係数は $$P'(1)=3+2a+b=3-4+1=0,$$ 右側の微分係数も $0$ なので、ここで微分可能である。

$x=2$ では左側の微分係数は $0$。右側について $h>0$ とすると $f(2+h)=d e^{-1/h}$ である。与えられた不等式に $X=1/h,\ n=2$ を代入すると $e^{-1/h}\leq 2h^2$ だから、 $$\displaystyle |f(2+h)|\leq 2|d|h^2\to0,\qquad \left|\frac{f(2+h)-f(2)}{h}\right| =|d|\frac{e^{-1/h}}{h}\leq2|d|h\to0.$$ したがって右側の微分係数も $0$ であり、$d$ に条件はない。さらに $x>2$ では $$\displaystyle \frac{d}{dx}\left(d e^{-1/(x-2)}\right) =\frac{d e^{-1/(x-2)}}{(x-2)^2}$$ となり、この区間でも微分可能である。以上より必要十分条件は $$a=-2,\qquad b=1,\qquad c=0,\qquad d\text{ は任意の実数}.$$ このとき接続点での微分係数は、$f'(0)=1,\ f'(1)=0,\ f'(2)=0$ である。