3群馬大学 2001年 数学 第3問解答・解説

(1) $\vec u=\overrightarrow{AB},\ \vec v=\overrightarrow{BC},\ \vec w=\overrightarrow{CA}$ とおく。$\vec u+\vec v+\vec w=\vec0$ であり、共通の内積を $K$ とする。$\vec u+\vec v+\vec w=\vec0$ にそれぞれ $\vec u,\vec v,\vec w$ を内積すると $$|\vec u|^2+2K=0,\qquad |\vec v|^2+2K=0,\qquad |\vec w|^2+2K=0.$$ したがって $|\vec u|=|\vec v|=|\vec w|$ であり、$\triangle ABC$ は正三角形である。

(2) $\vec u=\overrightarrow{AB},\ \vec v=\overrightarrow{BC},\ \vec w=\overrightarrow{CD},\ \vec z=\overrightarrow{DA}$ とおく。$\vec u+\vec v+\vec w+\vec z=\vec0$ で、隣り合う辺の内積を共通に $K$ とする。この閉路の等式に $\vec u$ と $\vec w$ をそれぞれ内積すると $$|\vec u|^2+\vec u\cdot\vec w+2K=0,\qquad |\vec w|^2+\vec u\cdot\vec w+2K=0,$$ よって $|\vec u|=|\vec w|$。同様に $|\vec v|=|\vec z|$。四角形は凸なので、対角線 $AC$ を使うと $\triangle ABC$ と $\triangle CDA$ は三辺相等で合同である。したがって $AB\parallel CD$、$BC\parallel DA$ となり、$ABCD$ は平行四辺形である。

平行四辺形より $\vec w=-\vec u$。条件から $$\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec w=-\vec u\cdot\vec v$$ なので $\vec u\cdot\vec v=0$。隣り合う辺が垂直な平行四辺形だから、$ABCD$ は長方形である。

採用答案のベクトル閉路の使い方を原文の条件に照らして確認した。三角形では閉路との内積から三辺の平方が一致し、四角形では対辺の長さが一致する。すべての内角が180°未満という条件と、対角線による三辺相等の合同から平行四辺形を示した後、与えられた内積の等式から隣辺の直交性を導くため、結論は条件から従う。