1群馬大学 2001年 数学 第1問解答・解説

・ $f'(x)=2x+1$ なので、$x=x_n$ における接線は $$y-f(x_n)=(2x_n+1)(x-x_n).$$ $f(x_n)=x_n^2+x_n+1$ を代入して整理すると $$\ell_n:\quad y=(2x_n+1)x+1-x_n^2.$$

・ $\ell_n$ と $y=3x$ の交点の $x$ 座標を $x_{n+1}$ とすると $$3x_{n+1}=(2x_n+1)x_{n+1}+1-x_n^2,$$ すなわち $$2(1-x_n)x_{n+1}=(1-x_n)(1+x_n).$$ $x_1=2>1$。$x_n>1$ なら $\ell_n$ の傾き $2x_n+1>3$ なので交点は一意であり、上式から $x_{n+1}=(x_n+1)/2>1$。従って帰納的に $x_n>1$ であり、割り算が常に可能で、 $$\displaystyle x_{n+1}=\frac{x_n+1}{2}\quad(n\ge1).$$

・ 漸化式を $1$ からの差で書くと $$\displaystyle x_{n+1}-1=\frac12(x_n-1),\qquad x_1-1=1.$$ 従って $\{x_n-1\}$ は初項1、公比 $1/2$ の等比数列であり $$\displaystyle x_n-1=\left(\frac12\right)^{n-1},\qquad \boxed{x_n=1+2^{1-n}}.$$

Substitute $(x_n,f(x_n))$ into the tangent formula. Intersect with $y=3x$ to get a recurrence. From $x_1=2$, all $x_n>1$, so the common factor can be cancelled; $x_n-1$ is geometric.