5大阪大学 2000年 数学 第5問解答・解説

独立結果: (1) 最大2頂点、(2) 最大5辺。立方体一辺s、球半径rとすると $\displaystyle \frac rs=\sqrt[3]{\frac{3}{4\pi}}$ で $\displaystyle \frac12<\frac rs<\frac58$。球内頂点どうしは隣接のみで立方体グラフに三角形がないため高々2、辺中点配置で2実現。辺は各方向高々2本だが、全方向で2本ずつは低/高座標条件に矛盾し、上限5。球を立方体辺の中点に置いて5本を実現。

採用結果照合: 独立解答は採用結果の2頂点・5辺と一致。半径比の有理評価、頂点間距離の制約、および辺交差数の上限と達成配置は高校範囲の幾何で妥当。原本選択表が無いため数学一致は出題適格性を解決しない。

範囲・方法: 高校数学の範囲。単元: 数学I 立体図形・距離, 数学A 図形の性質, 数学C ベクトル。方法: 立方体の対称性と座標, 球半径と距離の評価, 場合分けによる上限, 鳩の巣原理, 上限配置の構成。テーマ: 等体積の球と立方体の頂点・辺の最大交差数。