大阪大学 2000年数学第3問解答・解説

数学と人間の活動（整数）

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1問題

大阪大学2000年度第3問

どのような負でない2つの整数 $m$ と $n$ をもちいても、 $x=3m+5n$ とは表すことができない正の整数 $x$ をすべて求めよ。（配点率20%）

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\boxed{1,\space{}2,\space{}4,\space{}7}$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

非負整数 $m,n$ に対して $3m+5n$ は、 $m=n=0$ なら0であり、それ以外なら3以上である。したがって1,2は表せない。

4を表すには $n=0$ で $3m=4$ となる必要があり、不可能である。7では $n=0$ または1だが、それぞれ $3m=7$ 、 $3m=2$ となり、どちらも不可能である。

一方、 $x\ge8$ とする。3で割った余りに応じて、ある非負整数 $k$ を用いて次のいずれかに書ける。 $\begin{aligned} x&=8+3k=(3+5)+3k,\\ x&=9+3k=3(k+3),\\ x&=10+3k=5\cdot2+3k. \end{aligned}$ どの場合も $m,n$ を非負整数として表せる。よって表せない正の整数は $1,2,4,7$ である。

答え

$\boxed{1,\ 2,\ 4,\ 7}$

この問題で使う考え方

約数・倍数

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