1大阪大学 2000年 数学 第1問解答・解説

半径 $a$ の円 $x^2+y^2=a^2$ 上の点 $U=(u,v)$ では $u^2+v^2=a^2$ である。半径 $OU$ と接線は垂直なので、$U$ における接線は $$u(x-u)+v(y-v)=0,$$ すなわち $$ux+vy=a^2$$ と表せる。

円外の点を $X=(b,c)$ とし、そこから引いた接線の接点を $Q=(u_1,v_1)$、$R=(u_2,v_2)$ とする。$X$ は両接線上にあるから $$bu_1+cv_1=a^2,\qquad bu_2+cv_2=a^2.$$ したがって $Q,R$ はともに直線 $$bx+cy=a^2$$ 上にある。2本の接線の接点 $Q,R$ は異なるので、これが直線 $QR$ である。

次に、$T=(b,\sqrt{a^2-b^2})$ における接線は $$bx+\sqrt{a^2-b^2}\,y=a^2.$$ これと $x$ 軸（$y=0$）との交点は、$b>0$ より $$\displaystyle P=\left(\frac{a^2}{b},0\right).$$ この点を直線 $bx+cy=a^2$ に代入すると $$\displaystyle b\cdot\frac{a^2}{b}+c\cdot0=a^2$$ が成り立つ。ゆえに $P$ は $QR$ 上にあり、求める結論を得る。

半径$a$の円の点 $U=(u,v)$（$u^2+v^2=a^2$）での接線は $u(x-u)+v(y-v)=0$、すなわち $ux+vy=a^2$。外部点 $X=(b,c)$ は $Q,R$ それぞれでの接線上にあるから、$Q,R$ はいずれも $bx+cy=a^2$ を満たす。$Q,R$ は異なるので $QR$ はこの直線。指定点 $T=(b,\sqrt{a^2-b^2})$ での接線は $bx+\sqrt{a^2-b^2}\,y=a^2$。x軸との交点は $\displaystyle P=\left(\frac{a^2}{b},0\right)$。これは $bx+cy=a^2$ を満たすので $P$ は直線 $QR$ 上にある。