2大阪大学 2000年 数学 第2問解答・解説

全ての3点の選び方は $$\displaystyle \binom{16}{3}=560$$ 通りである。

選んだ3点を $P_i=(x_i,y_i)$ とし、$y_1\le y_2\le y_3$ となるように並べる。$u=y_2-y_1$、$v=y_3-y_2$ とおき、三角形の符号付き面積の2倍を $D$ とすると $$\begin{aligned} D &=(x_2-x_1)(y_3-y_1)-(x_3-x_1)(y_2-y_1)\\ &=x_2(u+v)-x_1v-x_3u. \end{aligned}$$ 格子点の横座標は $0\le x_i\le3$ なので $$-3(u+v)\le D\le3(u+v).$$ また $u+v=y_3-y_1\le3$。よって $|D|\le9$ であり、面積は最大でも $\displaystyle \frac92$ である。

面積が $\displaystyle \frac92$ となるには、これらの不等式すべてで等号となる必要がある。したがって $y_1=0$、$y_3=3$ であり、$D=9$ の場合は $x_2=3$ かつ $x_1v+x_3u=0$、$D=-9$ の場合は $x_2=0$ かつ $x_1v+x_3u=3(u+v)$ となる。いずれの場合も、選んだ3点は正方形のある一辺の両端の格子点（その辺の2頂点）と、反対側の辺上の格子点である。逆に、その形の3点は底辺3、高さ3の三角形となり、面積は $\displaystyle \frac92$。従ってこの形だけを数えればよい。

正方形の4辺それぞれについて、反対側の辺上には格子点が4個あるので、まず $4\cdot4=16$ 通り。ただし正方形の頂点3個からなる三角形は、隣り合う2辺を底辺として2回ずつ数えた。そうした三角形は4個なので、重複を1回ずつ除くと該当する選び方は $$16-4=12$$ 通り。求める確率は $$\displaystyle \boxed{\frac{12}{\binom{16}{3}}=\frac{12}{560}=\frac{3}{140}}.$$

格子点3つの面積の2倍を座標で評価し、最大値9の等号条件を分類する。該当する三角形は12個、全選び方は560通り。