4大阪大学 2000年 数学 第4問解答・解説

実数$x$に対し$f(x)=\sqrt{2-x^2}$とおくと、$1\le k\le n$で$\sqrt{2n^2-k^2}=n f(k/n)$である。 $\displaystyle R_n=\frac1n\sum\limits _{k=1}^n f(k/n)$とおく。$0\le t-\lfloor t\rfloor<1$より、 $$\displaystyle 0\le R_n-a_n=\frac1{n^2}\sum\limits _{k=1}^n\left(nf\left(\frac{k}{n}\right)-\left\lfloor nf\left(\frac{k}{n}\right)\right\rfloor\right)<\frac1n.$$ $f$ は $0\le x\le1$ で減少するので、各$k$について $$\displaystyle \frac1n f\left(\frac{k}{n}\right)\le \int_{(k-1)/n}^{k/n}f(x)\,dx\le\frac1n f\left(\frac{k-1}{n}\right).$$ したがって、$\displaystyle A=\int_0^1\sqrt{2-x^2}\,dx$とおけば $$\displaystyle 0\le A-R_n\le\frac{f(0)-f(1)}n=\frac{\sqrt2-1}{n},$$ ゆえに$R_n\to A$。上の評価と合わせて$a_n\to A$である。 $x^2+y^2=2$の第一象限の弧を考える。$O=(0,0)$、$P=(1,1)$、$U=(0,\sqrt2)$、$Q=(1,0)$とする。求める領域は、半径$\sqrt2$、中心角$\pi/4$の扇形$OUP$と直角三角形$OPQ$に分けられる。よって $$\displaystyle A=\frac12(\sqrt2)^2\cdot\frac{\pi}{4}+\frac12\cdot1\cdot1=\frac{\pi}{4}+\frac12.$$ 以上より$\displaystyle\lim\limits _{n\to\infty}a_n=\frac12+\frac{\pi}{4}$。